Light Scattering (빛의 산란)

Ray Tracing: The Rest of Your Life 5장을 우리 CUDA + 레이트레이싱 프로젝트 기준으로 정리한 문서. 원서의 논지를 빠짐없이 따라가되 설명은 우리 말로 다시 썼다. 원서 5장은 코드가 없는 “수식 준비” 장이라, 우리는 그 수식을 GPU 데모로 숫자로 검증했다.
원서: Ray Tracing: The Rest of Your Life (v4.0.2) · 커밋 405dacf

 이 장에서 CUDA 때문에 달라지는 큰 그림
원서 5장은 렌더러 코드를 바꾸지 않는다. 우리는 --demo lambert로 (1) Lambertian 산란 PDF의 정규화, (2) 산란 방향 생성기의 실제 분포를 확인했다.
핵심 발견: 지금까지 우리 렌더러의 Lambertian(법선에 단위 공 안의 점을 더함)은 cosθ/π가 아니라 cos³θ 분포였다. 진짜 Lambertian은 법선에 단위 구 위의 점을 더한 것이다. 6장에서 바로잡는다.
GPU 기법: 히스토그램을 공유 메모리에 먼저 모았다가(사유화) 블록당 한 번씩 전역에 더한다.

이 장에서 하는 일

이 장에서는 코드를 한 줄도 쓰지 않는다. 다음 장의 큰 조명 변경을 위한 준비만 한다.

1·2권의 레이트레이서는 레이가 표면이나 볼륨과 만나면 산란시켰다. 레이 산란은 장면 안에서 빛이 퍼지는 과정을 흉내 내는 가장 흔한 모델이고, 그 본성상 확률적으로 모델링하기에 자연스럽다. 다만 확률적으로 다루려면 따져야 할 것이 꽤 많다. 하나씩 보자.

알베도 (Albedo)

빛이 표면이나 매질을 만나면 가장 먼저 정해지는 것은 흡수되느냐, 산란되느냐다. 산란될 확률을 알베도(albedo) A라 하면 흡수될 확률은 1 − A다. 1권에서 본 “반사율의 한 형태”로서의 알베도가 바로 이것이다.

빛의 전파를 시뮬레이션한다는 것은 결국 광자들의 움직임을 흉내 내는 일이다. 광자 하나의 에너지는 파장으로 정해진다(

E = hc/\lambda

). 하나하나는 아주 작지만 충분히 모이면 장면 전체의 조명이 된다. 광자가 흡수될지 산란될지는 알베도로 확률적으로 정해지고, 물체가 특정 파장을 더 잘 흡수할 수 있으므로 알베도는 색(파장)에 따라 달라질 수 있다. 우리 코드의 attenuation(RGB 감쇠)이 그 역할이다.

물리 기반 렌더러는 RGB 대신 정해진 파장들(예: 300nm, 350nm, …, 700nm)을 샘플링하기도 한다. RGB는 사람 눈의 세 가지 원뿔세포(장·중·단파장에 민감한 L/M/S)를 흉내 난 근사로, R은 “대부분 빨간 파장”, G는 “대부분 초록 파장”… 식의 혼합이라고 생각하면 된다.

산란 (Scattering)

빛이 산란된다면, 어느 방향으로 나갈지는 입체각 위의 확률 분포로 표현할 수 있다. 이것을 산란 PDF,

\operatorname{pScatter}

라 부르자. 이 분포는 여러 가지에 따라 달라질 수 있다.

•

나가는 방향 ωo\omega_oωo​ — 기본.

•

들어오는 방향 ωi\omega_iωi​ — 도로를 비스듬히 보면 거울처럼 반사되는 것처럼, 입사각에 따라 분포가 바뀐다.

•

파장 λ\lambdaλ — 프리즘이 흰빛을 무지개로 나누는 것처럼.

•

위치 x\mathbf{x}x — 표면의 어느 점이냐에 따라.

알베도도 같은 변수들에 의존할 수 있다. 표면에서 나가는 색은 들어오는 모든 방향에 대해 이 항들을 적분한 것이다.

\operatorname{Color}_o(\mathbf{x}, \omega_o, \lambda) = \int_{\omega_i} A(\mathbf{x}, \omega_i, \omega_o, \lambda)\cdot\operatorname{pScatter}(\mathbf{x}, \omega_i, \omega_o, \lambda)\cdot\operatorname{Color}_i(\mathbf{x}, \omega_i, \lambda)

알베도와 산란 PDF는 그 점에 들어오는 빛에 대한 필터 역할을 한다. 그러니 들어오는 빛

\operatorname{Color}_i

를 먼저 알아야 하고, 그것은 다시 다른 점에서 나가는 빛이다 — 재귀다. 우리 RayColor가 “현재 물체의 감쇠 × 다음 레이의 색”을 계산하는 이유가 이것이다(우리는 반복문으로 펼쳐 throughput에 감쇠를 곱해 간다).

산란 PDF (The Scattering PDF)

3장의 몬테카를로 기본식을 적용하면 통계적 추정은 다음과 같다.

p

는 우리가 실제로 방향을 뽑은 분포의 밀도다.

\operatorname{Color}_o \approx \sum \frac{A(\ldots)\cdot\operatorname{pScatter}(\ldots)\cdot\operatorname{Color}_i(\ldots)}{p(\mathbf{x}, \omega_i, \omega_o, \lambda)}

Lambertian 표면의 산란 PDF는

\cos\theta_o

에 비례한다(

\theta_o

는 법선과 나가는 방향 사이 각, 수평선 아래로는 산란하지 않음). 여기서

\theta_o

는

[0, \pi]

범위다 — 0이면 법선과 같은 방향,

\pi

면 법선의 정반대 방향이다.

\operatorname{pScatter}(\mathbf{x}, \omega_i, \omega_o, \lambda) = C\cdot\cos\theta_o

이제 상수

C

를 정한다. 2차원 PDF는 모두 전체 면에서 적분하면 1이어야 한다(

\operatorname{pScatter}

도 PDF다). 그리고 수평선 아래로는 산란하지 않도록

\operatorname{pScatter}(\tfrac{\pi}{2} < \theta_o \le \pi) = 0

으로 둔다. 그러므로 적분은

\theta \in [0, \tfrac{\pi}{2}]

만 하면 된다.

1 = \int_{\phi=0}^{2\pi}\!\!\int_{\theta=0}^{\pi/2} C\cdot\cos\theta\;dA

구면 좌표에서

dA = \sin\theta\,d\theta\,d\phi

이므로

1 = C\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi = C\cdot 2\pi\cdot\frac{1}{2} = C\pi \;\Rightarrow\; C = \frac{1}{\pi}, \qquad \operatorname{pScatter}(\omega_o) = \frac{\cos\theta_o}{\pi}

바꿔 말하면 반구에서

\cos\theta_o

를 적분하면

\pi

이고, 그래서

1/\pi

로 정규화해야 한다는 뜻이다.

\operatorname{pScatter}

는 결국 나가는 방향에만 의존하므로 표기를

\operatorname{pScatter}(\omega_o)

로 줄인다.

이제 방향을 산란 PDF와 똑같은 분포로 뽑는다고 하자(

p = \operatorname{pScatter}

). 그러면 분자와 분모가 약분되어

\operatorname{Color}_o \approx \sum A(\ldots)\cdot\operatorname{Color}_i(\ldots)

만 남는다. 이것이 1·2권 내내 써 온 “감쇠 × 다음 레이의 색”이다. 우리 코드로는 이 한 줄이다.

 파일: kernel.cu (RayColor, 3권 5장 시점)

throughput = throughput * attenuation;   // A * pScatter / p 에서 pScatter / p = 1 이 약분된 모습
currentRay = scattered;
C++
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 BRDF와의 관계: 문헌에서는 반사를 보통 BRDF(양방향 반사율 분포 함수)로 정의한다. 우리 항들로 쓰면 BRDF⁡=A⋅pScatter⁡/cos⁡θo\operatorname{BRDF} = A\cdot\operatorname{pScatter}/\cos\theta_oBRDF=A⋅pScatter/cosθo​ 이고, Lambertian이면 A/πA/\piA/π 다. 원서가 BRDF 대신 “알베도 × 산란 PDF”로 설명하는 이유는 같은 수식을 표면과 볼륨에 함께 쓰고 싶어서다. 볼륨(참여 매질)에서는 알베도를 산란 알베도, 산란 PDF를 위상 함수(phase function) 라 부른다 — 2권 9장의 Isotropic이 바로 균일한 위상 함수다.

지금까지는 Lambertian 산란 하나의 PDF를 적은 것뿐이다. 다음 장부터는 이것을 일반화해서 중요한 방향(예: 광원 쪽)으로 레이를 더 보낼 수 있게 만든다.

수치로 확인하기: --demo lambert (우리가 덧붙인 실험)

원서 5장의 수식을 두 가지로 확인했다. 법선은 +z로 고정했다(그러면

\cos\theta

= 방향의 z성분).

(1) 정규화: 반구에서 cosθ/π의 적분 = 1

구 전체에서 균일하게 방향을 뽑고(

p = 1/4\pi

f = \max(0, \cos\theta)/\pi

를 p로 나눠 평균낸다.

 파일: MonteCarloDemo.cu

__global__ void LambertNormalizationKernel(
	unsigned long long seed, int numThreads, int samplesPerThread, double* partialSums)
{
	int id = blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x;
	if (id >= numThreads) return;

	DemoRng rng;
	curand_init(seed, id, 0, &rng);

	double sum = 0.0;
	for (int k = 0; k < samplesPerThread; k++)
	{
		int tries;
		double c = RandomUnitVectorRejection(&rng, tries).Z();
		double pScatter = (c > 0.0) ? c / kPi : 0.0;   // 수평선 아래로는 산란하지 않는다
		sum += pScatter * (4.0 * kPi);                 // f / p,  p = 1/(4 pi)
	}
	partialSums[id] = sum;
}
C++
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[lambert] (1) integral of pScatter = cos(theta)/pi over the hemisphere, N = 8388608
  Estimate = 0.999372367   (should be 1)
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(2) 우리 Lambertian은 정말 cosθ/π 분포인가?

산란 방향을 만드는 세 가지 방법의

\cos\theta

분포를 히스토그램으로 비교했다.

생성기	방법	어디서 쓰나
inBall	법선에 단위 공 안의 무작위 점을 더함	지금까지 우리 렌더러의 Lambertian (RandomInUnitSphere)
onSphere	법선에 단위 구 위의 무작위 점을 더함	원서 v4의 lambertian (random_unit_vector)
hemi	반구에서 균일한 방향	비교용

히스토그램은 CUDA의 기본 패턴대로 만든다. 모든 스레드가 전역 칸 10개에 바로 atomicAdd 하면 주소 10개에 경합이 몰리므로, 블록 전용 히스토그램을 공유 메모리에 먼저 모았다가(사유화, privatization) 블록마다 한 번씩 전역에 더한다.

 파일: MonteCarloDemo.cu

__global__ void CosineHistogramKernel(
	unsigned long long seed, int generator, int numThreads, int samplesPerThread,
	unsigned long long* bins, double* partialCosSums)
{
	__shared__ unsigned int localBins[kCosBins];     // 블록 전용 히스토그램
	for (int b = threadIdx.x; b < kCosBins; b += blockDim.x)
		localBins[b] = 0;
	__syncthreads();

	int id = blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x;
	if (id < numThreads)
	{
		DemoRng rng;
		curand_init(seed, id, 0, &rng);

		double cosSum = 0.0;
		for (int k = 0; k < samplesPerThread; k++)
		{
			double c = ScatterDirection(generator, &rng).Z();   // 법선이 +z라 cos(theta) = z
			cosSum += c;

			int bin = int(c * kCosBins);
			if (bin < 0) bin = 0;
			if (bin >= kCosBins) bin = kCosBins - 1;
			atomicAdd(&localBins[bin], 1u);                   // 공유 메모리 원자 연산(빠름)
		}
		partialCosSums[id] = cosSum;
	}
	__syncthreads();

	for (int b = threadIdx.x; b < kCosBins; b += blockDim.x)
		atomicAdd(&bins[b], (unsigned long long)localBins[b]);   // 블록당 칸마다 1번
}
C++
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결과(각 생성기 838만 샘플, 오른쪽 세 열은 이론값):

cos(theta)      inBall  onSphere      hemi  |    cos/pi     cos^3   uniform
[0.0, 0.1)     0.0001    0.0100    0.1001  |    0.0100    0.0001    0.1000
[0.1, 0.2)     0.0015    0.0301    0.1001  |    0.0300    0.0015    0.1000
[0.2, 0.3)     0.0065    0.0501    0.1000  |    0.0500    0.0065    0.1000
[0.3, 0.4)     0.0176    0.0700    0.0998  |    0.0700    0.0175    0.1000
[0.4, 0.5)     0.0370    0.0899    0.1001  |    0.0900    0.0369    0.1000
[0.5, 0.6)     0.0671    0.1100    0.1000  |    0.1100    0.0671    0.1000
[0.6, 0.7)     0.1105    0.1299    0.1000  |    0.1300    0.1105    0.1000
[0.7, 0.8)     0.1694    0.1500    0.0999  |    0.1500    0.1695    0.1000
[0.8, 0.9)     0.2464    0.1702    0.1000  |    0.1700    0.2465    0.1000
[0.9, 1.0)     0.3440    0.1899    0.1000  |    0.1900    0.3439    0.1000
mean cos        0.8000    0.6666    0.4999  |    0.6667    0.8000    0.5000
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산란 방향 생성기별 cos θ 분포 (막대: GPU 측정, 점선: 이론)

•

onSphere는 이론 cosθ/π와 칸마다 일치한다(평균 cos = 2/3). 이것이 진짜 Lambertian이다.

•

inBall은 cosθ/π가 아니라 cos³θ와 칸마다 일치한다(평균 cos = 0.8). 법선 쪽으로 훨씬 몰려 있다.

왜 cos³일까? 원점(표면 위의 점)은 “법선만큼 떨어진 곳을 중심으로 하는 단위 공”의 표면 위에 있다. 공 안에서 균일하게 뽑은 점의 방향만 보면, 방향 θ로 공을 가로지르는 현의 길이가

2\cos\theta

라서 그 방향의 원뿔 조각 부피가

\int_0^{2\cos\theta} r^2\,dr \propto \cos^3\theta

가 된다. 반면 공 표면 위의 점만 쓰면 정확히

\cos\theta/\pi

가 나온다.

 왜 지금 중요한가: 원서 v4의 1권은 이미 “구 위의 점”(random_unit_vector)으로 진짜 Lambertian을 쓴다. 우리 CUDA 포팅은 예전 방식(공 안의 점)을 따라 왔다. 지금까지는 “감쇠만 곱하는” 구조라 아무 문제가 드러나지 않았지만, 6장에서 ScatteringPdf = cos/π를 정의하는 순간 실제 샘플 분포(cos³)와 PDF(cos)가 어긋난다. 그래서 6장에서 Lambertian을 “구 위의 점”으로 바로잡는다. 겉보기에는 법선 쪽 편향이 줄어 음영이 조금 달라진다.

결과 & 검증

•

빌드/실행 확인: VS2022 + CUDA 12.9 Release로 컴파일·링크·실행 성공.

•

정규화: 반구에서 cosθ/π의 적분 = 0.99937 (N = 838만).

•

분포 확인: onSphere = cosθ/π, inBall = cos³θ, hemi = 균일 — 세 가지 모두 이론 칸 확률과 소수점 넷째 자리까지 일치.

변경 파일 요약

원서	우리 파일	메모
(5장은 코드 없음)	MonteCarloDemo.cu	--demo lambert: LambertNormalizationKernel
—	MonteCarloDemo.cu	CosineHistogramKernel(공유 메모리 히스토그램), ScatterDirection 생성기 3종

CUDA 적용에서 꼭 기억할 3가지

수식은 숫자로 확인하자: 정규화(적분 = 1)와 분포 모양을 GPU로 몇 초 만에 검증할 수 있다. “그럴듯한 그림이 나오는 버그”는 그림만 봐서는 못 찾는다.

“공 안의 점”과 “구 위의 점”은 다른 분포다: 법선에 공 안의 점을 더하면 cos³, 구 위의 점을 더하면 cos/π(Lambertian). PDF를 쓰기 시작하면 이 차이가 곧 편향이 된다.

히스토그램은 공유 메모리 사유화: 블록 안에서 먼저 모으고 전역에는 블록당 한 번만 더해 원자 연산 경합을 줄인다.