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Generating Random Directions (무작위 방향 만들기)

Ray Tracing: The Rest of Your Life 7장을 우리 CUDA + 레이트레이싱 프로젝트 기준으로 정리한 문서. 원서의 논지를 빠짐없이 따라가되 설명은 우리 말로 다시 썼고, 코드는 전부 우리 GPU 코드다. 원서: Ray Tracing: The Rest of Your Life (v4.0.2) · 커밋 a83ec5f
💡 이 장에서 CUDA 때문에 달라지는 큰 그림 1. 렌더러에는 RandomCosineDirection 하나만 추가한다(실제로 쓰는 것은 8장). 실험은 --demo dirs. 2. 역변환법은 루프가 없다 → 4장에서 본 워프 발산이 사라진다. 같은 1,677만 방향을 만드는 데 거절법 6.97 ms, 역변환법 3.18 ms로 2.19배 빨랐다. 3. ⚠️ 마이크로벤치마크 함정: 생성 결과를 일부만 쓰면 컴파일러가 나머지 계산을 지워 버린다. 처음에 z성분만 더했다가 27배라는 엉터리 수치가 나왔다. 4. 코사인 PDF는 cos³ 적분에서 샘플당 표준편차를 1.78 → 0.91로 줄인다. 중요도 샘플링의 맛보기다.

z축 기준으로 방향 만들기

이 장부터 세 장에 걸쳐 하는 일은 새 기능을 붙이는 것이 아니라 이해와 도구를 단단하게 만드는 것이다. 먼저 무작위 방향을 만드는 방법부터 정리한다.
우리에게는 이미 거절법(뽑고 버리기)으로 방향을 만드는 방법이 있다. 이번에는 3장에서 배운 역변환법으로 만들어 본다. 계산을 단순하게 하려고 z축을 표면 법선으로 두고, θ는 법선에서 잰 각으로 둔다. 이 장에서는 모든 것을 z축 기준으로 세우고, 다음 장(8장)에서 실제 법선 방향에 맞춰 돌린다.
그리고 우리가 다룰 분포는 전부 z축에 대해 회전 대칭이다. 즉 방향의 PDF는 φ에 무관하고 θ만의 함수다.
p(ω)=f(θ)p(\omega) = f(\theta)
이때 φ와 θ 각각의 1차원 PDF는 다음과 같다.
a(ϕ)=12π,b(θ)=2πf(θ)sin⁡θa(\phi) = \frac{1}{2\pi}, \qquad b(\theta) = 2\pi f(\theta)\sin\theta
b(θ)b(\theta)에 sin⁡θ\sin\theta가 붙는 이유는 4장에서 본 대로 구면 좌표의 넓이 조각이 dω=sin⁡θ dθ dϕd\omega = \sin\theta\,d\theta\,d\phi 이기 때문이다. 극 근처(θ가 0에 가까움)는 같은 θ 폭이라도 실제 넓이가 작다.

φ: 직관 그대로

균일 난수 r1r_1, r2r_2 를 받아 CDF를 풀고 뒤집는다. φ부터 하자.
r1=∫0ϕa(ϕ′) dϕ′=∫0ϕ12π dϕ′=ϕ2π  ⟹  ϕ=2π r1r_1 = \int_0^{\phi} a(\phi')\,d\phi' = \int_0^{\phi}\frac{1}{2\pi}\,d\phi' = \frac{\phi}{2\pi} \;\Longrightarrow\; \phi = 2\pi\,r_1
이건 직관과 정확히 일치한다 — φ의 범위가 [0,2π][0, 2\pi] 이므로 [0,1] 난수에 2π2\pi 를 곱하면 전 범위를 덮는다. θ 쪽은 직관이 잘 안 서므로 식을 차근차근 따라가 보자.

θ: CDF를 적분해서 뒤집기

θ 쪽도 같은 방식이다.
r2=∫0θ2πf(θ′)sin⁡θ′ dθ′r_2 = \int_0^{\theta} 2\pi f(\theta')\sin\theta'\,d\theta'
ff 자리에 원하는 분포를 넣고 풀면 된다. 세 가지를 차례로 해 보자.
① 구 전체 균일. 단위 구의 넓이가 4π4\pi 이므로 p(ω)=f(θ)=1/4πp(\omega) = f(\theta) = 1/4\pi 다.
r2=∫0θ2π⋅14πsin⁡θ′ dθ′=∫0θ12sin⁡θ′ dθ′=−cos⁡θ2−−cos⁡02=1−cos⁡θ2r_2 = \int_0^{\theta} 2\pi\cdot\frac{1}{4\pi}\sin\theta'\,d\theta' = \int_0^{\theta}\frac{1}{2}\sin\theta'\,d\theta' = \frac{-\cos\theta}{2} - \frac{-\cos 0}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}
cos⁡θ=1−2r2\cos\theta = 1 - 2r_2
📝 θ를 직접 구하지 않는다. 어차피 직교 좌표로 바꿀 때 필요한 것은 cos⁡θ\cos\theta 와 sin⁡θ\sin\theta 뿐이다. 여기서 acos를 불러 θ를 얻고 다시 cos을 부르는 것은 순전한 낭비다. GPU에서는 더욱 그렇다 — 초월 함수는 SFU(special function unit)를 쓰거나 소프트웨어로 풀리므로, 한 번 아끼는 것이 그대로 처리량이 된다.
② 반구 균일. p(ω)=f(θ)=1/2πp(\omega) = f(\theta) = 1/2\pi 로 상수만 바꾸면 된다.
r2=∫0θ2π⋅12πsin⁡θ′ dθ′=1−cos⁡θ  ⟹  cos⁡θ=1−r2r_2 = \int_0^{\theta} 2\pi\cdot\frac{1}{2\pi}\sin\theta'\,d\theta' = 1 - \cos\theta \;\Longrightarrow\; \cos\theta = 1 - r_2
r2r_2 가 [0,1] 이므로 cos⁡θ\cos\theta 는 1에서 0까지, 즉 θ는 0에서 π/2\pi/2 까지만 움직인다. 수평선 아래로는 아무것도 가지 않는다는 뜻이다.
③ 코사인 가중(Lambert). p(ω)=f(θ)=cos⁡θ/πp(\omega) = f(\theta) = \cos\theta/\pi 다.
r2=∫0θ2π⋅cos⁡θ′πsin⁡θ′ dθ′=∫0θ2cos⁡θ′sin⁡θ′ dθ′=1−cos⁡2θ  ⟹  cos⁡θ=1−r2r_2 = \int_0^{\theta} 2\pi\cdot\frac{\cos\theta'}{\pi}\sin\theta'\,d\theta' = \int_0^{\theta} 2\cos\theta'\sin\theta'\,d\theta' = 1 - \cos^2\theta \;\Longrightarrow\; \cos\theta = \sqrt{1 - r_2}
정리하면 이렇다.
분포
f(theta)
결과
균일 구면
1/4π
cos θ = 1 - 2 r2
균일 반구
1/2π
cos θ = 1 - r2 (수평선 아래로 가지 않음)
코사인(Lambert)
cos θ / π
cos θ = sqrt(1 - r2), sin θ = sqrt(r2)

직교 좌표로 바꾸기

(θ,ϕ)(\theta, \phi) 방향의 단위 벡터는 공통 공식으로 만든다.
x=cos⁡ϕ sin⁡θ,y=sin⁡ϕ sin⁡θ,z=cos⁡θx = \cos\phi\,\sin\theta, \qquad y = \sin\phi\,\sin\theta, \qquad z = \cos\theta
sin⁡θ\sin\theta 는 항등식 cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1 로 구한다. 구 전체 균일을 예로 들면
x=cos⁡(2πr1)1−(1−2r2)2,y=sin⁡(2πr1)1−(1−2r2)2,z=1−2r2x = \cos(2\pi r_1)\sqrt{1 - (1-2r_2)^2}, \quad y = \sin(2\pi r_1)\sqrt{1 - (1-2r_2)^2}, \quad z = 1 - 2r_2
이고, (1−2r2)2=1−4r2+4r22(1-2r_2)^2 = 1 - 4r_2 + 4r_2^2 이므로 루트 안이 4r2(1−r2)4r_2(1-r_2) 로 정리된다.
x=cos⁡(2πr1)⋅2r2(1−r2),y=sin⁡(2πr1)⋅2r2(1−r2),z=1−2r2x = \cos(2\pi r_1)\cdot 2\sqrt{r_2(1-r_2)}, \quad y = \sin(2\pi r_1)\cdot 2\sqrt{r_2(1-r_2)}, \quad z = 1 - 2r_2
코사인 분포에서도 비슷한 정리가 가능하다. z=1−r2z = \sqrt{1-r_2} 이므로 sin⁡θ=1−z2=r2\sin\theta = \sqrt{1 - z^2} = \sqrt{r_2} — 즉 루트 두 번이면 끝이고, 제곱·뺄셈을 한 번 더 아낀다.
📄 파일: MonteCarloDemo.cu — 원서 Listing rand-unit-sphere-plot, random-cosine-direction에 대응
__device__ inline Vector3 RandomUnitVectorInversion(DemoRng* rng) { double r1 = RandomDouble(rng); double r2 = RandomDouble(rng); double z = 1.0 - 2.0 * r2; // cos(theta) double r = sqrt(fmax(0.0, 1.0 - z * z)); // sin(theta) double phi = 2.0 * kPi * r1; return Vector3(cos(phi) * r, sin(phi) * r, z); } __device__ inline Vector3 RandomHemisphereDirectionInversion(DemoRng* rng) { double r1 = RandomDouble(rng); double r2 = RandomDouble(rng); double z = 1.0 - r2; // cos(theta), [0,1] -> 수평선 위쪽만 double r = sqrt(fmax(0.0, 1.0 - z * z)); double phi = 2.0 * kPi * r1; return Vector3(cos(phi) * r, sin(phi) * r, z); } __device__ inline Vector3 RandomCosineDirectionDemo(DemoRng* rng) { double r1 = RandomDouble(rng); double r2 = RandomDouble(rng); double z = sqrt(1.0 - r2); // cos(theta) double r = sqrt(r2); // sin(theta) = sqrt(1 - z^2) double phi = 2.0 * kPi * r1; return Vector3(cos(phi) * r, sin(phi) * r, z); }
C++
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원서는 이렇게 만든 점 200개를 plot.ly에 올려 구면에 고르게 퍼지는지 눈으로 확인한다. 우리도 --demo dirs가 점 200개를 CSV로 찍어 주고, 그것을 그대로 그렸다.
역변환법으로 만든 단위 구 위의 무작위 방향 200개

적분으로 검증하기

눈으로 보는 것(plot.ly에서 돌려 보며 "고르게 퍼졌네" 하는 것)보다 확실한 방법은 답을 아는 적분을 풀어 보는 것이다. 원서는 반구에서 cos⁡3\cos^3 을 고른다 — 특별한 의미가 있어서가 아니라 그냥 해석해가 있는 함수라서다. 먼저 손으로 풀어 두자.
∫hemicos⁡3θ dA=∫02π ⁣ ⁣∫0π/2cos⁡3θ sin⁡θ dθ dϕ=2π∫0π/2cos⁡3θ sin⁡θ dθ=2π⋅14=π2\int_{\text{hemi}} \cos^3\theta\,dA = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi = 2\pi\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\sin\theta\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}
그리고 구 전체에서 cos⁡2\cos^2 을 적분하면 4장에서 본 대로 4π/34\pi/3 이다. 이제 이 값들을 서로 다른 PDF로 추정해 본다. 반구 균일이면 p(ω)=1/2πp(\omega) = 1/2\pi 이므로 f/p=cos⁡3θ/12πf/p = \cos^3\theta \big/ \tfrac{1}{2\pi} 를 평균내고, 코사인 분포면 p(ω)=cos⁡θ/πp(\omega) = \cos\theta/\pi 로 나눈다. --demo dirs로 세 경우를 각각 1,677만 샘플씩 돌렸다.
[dirs] inversion-method directions, N = 16777216 per case case estimate exact |error| stddev/sample cos^2 over sphere, p = 1/4pi 4.188496164 4.188790205 0.000294041 3.747001311 cos^3 over hemi, p = 1/2pi 1.570411040 1.570796327 0.000385287 1.780752191 cos^3 over hemi, p = cos/pi 1.570754462 1.570796327 0.000041865 0.906914153
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•
셋 다 정답에 수렴한다(4장의 거절법 결과와도 일치).
•
같은 적분 π/2\pi/2를 균일 반구로 풀면 샘플당 표준편차가 1.78, 코사인 분포로 풀면 0.91이다. 분산은 표준편차의 제곱이므로 약 3.9배 작다 — 같은 노이즈를 얻는 데 샘플이 약 1/4만 있으면 된다는 뜻이다. 피적분 함수 cos³과 PDF cos의 모양이 더 닮았기 때문이다.

GPU 관점: 루프 없는 생성기의 값어치

4장에서 거절법의 실제 비용은 “워프 안 최대 시도 횟수”(레인 활용률 32%)라고 확인했다. 역변환법은 난수 두 개로 바로 계산하므로 모든 레인이 정확히 같은 일을 같은 횟수만큼 한다. 같은 개수의 방향을 만드는 시간을 CUDA 이벤트로 쟀다.
generating 16777216 directions rejection method : 6.97 ms ( 2.41 G dir/s) inversion method : 3.18 ms ( 5.28 G dir/s) speedup : 2.19x
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역변환법은 sin, cos, sqrt를 (그것도 double로) 부르는데도 2.19배 빠르다. 거절법이 평균 1.91회 난수 3개를 뽑고, 워프는 그중 가장 느린 레인을 기다리기 때문이다.
⚠️ 마이크로벤치마크 함정 (실제로 겪음): 처음에는 생성한 방향의 z성분만 더해서 시간을 쟀다. 그랬더니 역변환법이 27배 빠르다고 나왔다. 이유는 간단하다 — 역변환법에서 z는 1 - 2*r2 라서, 컴파일러가 phi·sin·cos·sqrt 계산을 전부 죽은 코드로 보고 지워 버린다. 거절법은 조건 검사에 x, y, z가 다 필요해서 지울 수 없으니 불공정한 비교가 된 것이다. 세 성분을 모두 더하도록 고치니 2.19배가 나왔다.
// 어느 쪽도 계산을 건너뛸 수 없게 세 성분을 모두 쓴다 sum += d.X() + d.Y() + d.Z();
C++
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렌더러에 들어간 것

이 장에서 렌더러에 추가하는 것은 코사인 분포 방향 생성기 하나다. 아직 z축 기준이라 그대로는 못 쓰고, 8장에서 정규직교 기저(ONB)로 실제 법선에 맞춰 돌린다.
📄 파일: Material.h
__device__ inline Vector3 RandomCosineDirection(curandState* randState) { double r1 = curand_uniform_double(randState); double r2 = curand_uniform_double(randState); double phi = 2.0 * kPi * r1; double z = sqrt(1.0 - r2); // cos(theta) double r = sqrt(r2); // sin(theta) return Vector3(cos(phi) * r, sin(phi) * r, z); }
C++
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결과 & 검증

•
빌드/실행 확인: VS2022 + CUDA 12.9 Release로 컴파일·링크·실행 성공.
•
적분 검증: cos²(구) 4.188496 / cos³(반구) 1.570411(균일), 1.570754(코사인) — 모두 정답과 일치.
•
분산: 코사인 PDF가 균일 PDF보다 샘플당 표준편차 약 절반(분산 약 1/4).
•
생성 비용: 거절법 6.97 ms vs 역변환법 3.18 ms (1,677만 방향, 2.19배).

변경 파일 요약

원서 Listing
우리 파일
메모
rand-unit-sphere-plot
MonteCarloDemo.cu
RandomUnitVectorInversion, 점 200개 CSV 출력
cos-cubed
MonteCarloDemo.cu
균일 반구 PDF로 cos³ 적분
random-cosine-direction, cos-density
MonteCarloDemo.cu
코사인 분포 생성기와 그 PDF로 cos³ 적분
—
MonteCarloDemo.cu
거절법 vs 역변환법 생성 비용(CUDA 이벤트)
random-cosine-direction
Material.h
렌더러용 RandomCosineDirection (8장에서 사용)

CUDA 적용에서 꼭 기억할 3가지

1.
역변환법은 GPU와 궁합이 좋다: 루프가 없어 워프 발산이 없고, acos 없이 cos θ·sin θ만 구하면 된다. 실측 2.19배.
2.
벤치마크는 결과를 전부 소비하자: 일부만 쓰면 컴파일러가 나머지를 지워 엉뚱한 수치(27배)가 나온다.
3.
PDF가 피적분 함수를 닮을수록 분산이 준다: cos³ 적분에서 코사인 PDF가 분산을 약 1/4로 줄였다. 다음 장부터 이 원리를 광원 샘플링에 쓴다.