A Reflectance Model for Computer Graphics (쿡토렌스 물리기반 렌더링)

새로운 반사(Reflectance) 모델이 제안되었습니다.

이 모델은 같은 장면 안에서 서로 다른 재질이나 빛의 밝기 차이를 설명할 수 있습니다.

또한, 빛이 물체에 부딪혀 반사될 때 어느 방향으로 퍼지는지와, **입사각(빛이 들어오는 각도)**에 따라 색이 달라지는 현상까지 묘사합니다.

연구에서는 실제 재질을 사용해 물체 표면에서 반사되는 빛의 스펙트럼 에너지 분포를 얻는 방법을 보여주며, 그 분포에 맞게 색을 정확하게 재현하는 절차도 설명합니다.

마지막으로, 이 모델을 금속과 플라스틱 재질의 시뮬레이션에 적용해 그 효과를 입증했습니다.

컴퓨터 그래픽스에서 현실감 있는 이미지를 렌더링하려면, 물체가 빛을 어떻게 반사하는지를 설명하는 **반사 모델(reflectance model)**이 필요합니다. 이 모델은 반사된 빛의 **색(color)**과 공간적 분포(spatial distribution) 모두를 다루어야 합니다. 또한 반사 모델은 표면 기하 구조 표현이나 은면 제거(hidden surface) 알고리즘 같은 다른 렌더링 요소와는 독립적으로 정의됩니다.

대부분의 실제 표면은 완전한 거울 같은 반사체(ideal specular)도 아니고, 완전히 확산적인 램버시안 반사체(ideal diffuse)도 아닙니다. 이에 대해 Phong은 반사 모델을 제안했는데, 이는 **확산 반사(diffuse)**와 **정반사(specular)**를 선형적으로 합친 모델이었습니다. 정반사 성분은 거울 방향을 중심으로 퍼지도록, 코사인 함수에 지수를 적용해 표현했습니다.

이후 Blinn은 비슷한 아이디어를 발전시키면서, 빛이 표면에 비스듬히(grazing angle) 들어올 때 나타나는 off-specular peak까지 고려한 반사 모델을 사용했습니다. 또 Whitted는 이상적인 거울 반사(ideal specular reflection)를 위한 항을 추가하여 모델을 확장했습니다.

이들 기존 모델은 모두 **기하광학(geometrical optics, 즉 광선 이론)**을 기반으로 했습니다. 그리고 반사를 세 가지 성분으로 나누어 다뤘습니다:

•

주변광(ambient): 환경에서 모든 방향으로 균일하게 들어오는 빛 → 표면에서 모든 방향으로 동일하게 반사

•

확산광(diffuse): 특정 광원에서 온 빛이 표면에 부딪힌 후, 모든 방향으로 균일하게 퍼짐

•

정반사(specular): 거울 방향 근처에 집중된 하이라이트

여기서 정반사 성분은 광원의 색으로 가정되었으며, 강도의 각도별 변화는 프레넬 방정식으로 설명했지만 색 변화는 포함하지 않았습니다. 반면, 주변광과 확산광은 재질 자체의 색으로 가정되었습니다. 이 결과, 특정한 종류의 재질을 표현하는 데에는 그럴듯한 이미지를 만들어낼 수 있었습니다.

이 논문은 기존보다 더 일반적인, **거친 표면(rough surface)**을 위한 새로운 반사 모델을 제시합니다. 이 모델은 기하광학에 기반을 두고 있으며, 다양한 재질, 표면 조건, 조명 상황에 적용할 수 있습니다. 모델의 핵심은, 물체의 밝기를 비추는 각 광원의 **세기(intensity)**와 **크기(size)**에 연관지어 정의하는 반사 공식에 있습니다. 이 모델은 반사된 빛의 방향 분포와 **스펙트럼 구성(색상 성분)**을 예측합니다. 또한, 스펙트럼 에너지 분포에서 RGB 값을 계산하는 절차도 제시합니다.

마지막으로, 이 새로운 반사 모델을 금속과 플라스틱에 적용하며, 기존 모델들이 왜 종종 ‘플라스틱처럼 보이는(plastic look)’ 이미지를 만들어내는지, 그리고 그 문제를 어떻게 피할 수 있는지를 설명합니다.

반사 모델 (The Reflectance Model)

광원, 표면, 그리고 관찰자가 주어졌을 때, **반사 모델(reflectance model)**은 관찰자에게 도달하는 반사광의 **강도(intensity)**와 **스펙트럼 구성(spectral composition)**을 설명합니다.

•

반사광의 강도는 광원의 세기와 크기, 그리고 물질의 반사 능력과 표면 특성에 의해 결정됩니다.

•

반사광의 **스펙트럼 구성(색 성분)**은 광원의 스펙트럼과, 표면이 파장별로 선택적으로 반사하는 특성에 의해 결정됩니다.

이 절에서는 필요한 반사 관련 정의들을 도입하고, 이를 결합하여 하나의 일반화된 반사 모델을 제시합니다.

그림 1에는 이 모델에서 사용되는 기호들이 요약되어 있으며, 그림 2는 반사의 기하 구조를 보여줍니다.

관찰자는 표면 위의 한 점 P를 보고 있습니다.

•

V: 관찰자 방향의 단위 벡터

•

N: 표면의 단위 법선 벡터

•

L: 특정 광원 방향의 단위 벡터

•

H: V와 L의 각을 이등분하는 방향의 정규화된 벡터

이는 다음과 같이 정의됩니다:

H = \frac{V + L}{\ length( V + L) }

vec3 lightDir   = normalize(lightPos - FragPos);
vec3 viewDir    = normalize(viewPos - FragPos);
vec3 halfwayDir = normalize(lightDir + viewDir);
GLSL
복사

이는 빛을 반사할 수 있는 가상의 표면의 단위 반사 벡터에 해당한다.

기호	의미	대표 수식 (Notion 수학 블록)
H	반각 벡터 (Half vector)	$H = \frac{L + V}{\|L + V\|}$
R	총 BRDF (Total reflectance)	$R = R_d + R_s$
R_d	확산 반사율 (Diffuse BRDF)	$R_d = \frac{\rho_d}{\pi}$
R_s	정반사 반사율 (Specular BRDF, Cook–Torrance)	$R_s = \frac{D \, F \, G}{4 (N \cdot L)(N \cdot V)}$
D	Facet 경사 분포 함수 (Normal Distribution Function)	$D(m) = \frac{1}{\pi m^2 \cos^4\theta_h} \exp\left(-\frac{\tan^2\theta_h}{m^2}\right)$
G	기하학적 감쇠 (Geometry Attenuation)	$G(N,V,L) = \min\left(1, \frac{2 (N \cdot H)(N \cdot V)}{V \cdot H}, \frac{2 (N \cdot H)(N \cdot L)}{V \cdot H}\right)$
F	프레넬 반사율 (Fresnel reflectance, Schlick approx.)	$F(\theta) = F_0 + (1 - F_0)(1 - \cos\theta)^5$
I_r	반사광 세기 (Reflected intensity)	$I_r = E_i \cdot R$
N	단위 표면 법선 (Surface normal)	$N \cdot L, \; N \cdot V$ (주로 내적 형태로 사용)
L	광원 방향 단위벡터 (Light vector)	$N \cdot L$
V	관찰자 방향 단위벡터 (View vector)	$N \cdot V$
θ_{NH}	법선과 반각 벡터 사이의 각	$\theta_{NH} = \cos^{-1}(N \cdot H)$
θ_{VH}, θ_{LH}	V–H, L–H 사이의 각도	$\theta_{VH} = \cos^{-1}(V \cdot H)$
ρ_d	확산 반사율 계수	$R_d = \frac{\rho_d}{\pi}$
ρ_s	정반사 반사율 계수	$R_s \propto \rho_s$

The geometry of reflection

입사광의 에너지는 단위 시간과 단위 면적당 에너지로 표현된다. 입사광의 세기(intensity)는 이와 비슷하지만, 단위 투영 면적과 단위 입체각(solid angle)당으로 표현된다 [20, 8].

(입체각은 광원의 투영 면적을 광원까지의 거리 제곱으로 나눈 값이다.)

빛이 표면에 도달할 때, 광원까지의 거리는 일정하다고 가정할 수 있다(점광원이 멀리 있는 경우). 따라서 입사광의 세기는 상수로 취급된다. 어떤 방향으로 들어오는 빛의 에너지는 다음과 같다.

E_i = I_i (N \cdot L) , d\omega_i

거울이나 거울에 가까운 재질을 제외하면, 들어오는 광선은 넓은 각도 범위로 반사된다. 따라서 특정 방향의 반사 세기는 입사 세기뿐 아니라 입사 방향에도 의존한다.

작은 입체각 내의 특정 반사 방향에 대해, 입사 에너지 대비 반사 에너지의 비율을 양방향 반사율(bidirectional reflectance)이라고 한다.

이 반사율은 반사 연구의 핵심 요소이다. (추가 논의는 [20, 8] 참고)

각 광원에 대해 양방향 반사율 (R)은 다음과 같다.

R = \frac{I_r}{E_i}

각 광원으로부터 관찰자에게 도달하는 반사 세기 (I_r)는

I_r = R E_i

= R I_i (N \cdot L)d\omega_i

양방향 반사율은 정반사(specular)와 난반사(diffuse) 두 가지 성분으로 나뉜다.

•

정반사 성분은 표면에서 직접 반사된 빛을 의미한다.

•

난반사 성분은 입사광이 표면 아래로 침투해 내부 산란을 거쳐 나오거나,표면이 충분히 거칠 경우 다중 반사에서 발생한다.

표면이 균일하지 않은 물질에서는 정반사 성분과 난반사 성분이 서로 다른 색상을 가질 수 있다.

양방향 반사율은 다음과 같이 표현된다.

R = sR_s + dR_d, \quad \text{where } s + d = 1.

개별 광원의 직접 조명 외에도, 물체는 배경광 또는 주변광(ambient illumination)에 의해 조명될 수 있다.

특정 광원에 의하지 않는 모든 빛은 하나의 주변 반사율 (R_a)로 묶인다.

특정 방향으로 반사되는 주변광의 양은 작지만, 조명을 받는 반구 전체에 대해 적분하면 그 효과는 무시할 수 없다.

따라서 (R_a)를 시야 방향과 무관한 상수로 놓는 것이 편리하다.

또한 주변광이 균일하게 입사한다고 가정한다.

주변광으로 인한 반사 세기는 다음과 같이 정의된다.

I_{ra} = R_a I_{ia}f

용어 f 는, 근처 물체(예: 모서리 등)에 의해 가려지지 않은 조명 반구(illuminating hemisphere) 의 비율이다 [25].

이는 다음과 같이 주어진다.

f = \frac{1}{\pi} \int (N \cdot L)\, d\omega_i,

여기서 적분은 조명 반구 중에서 가려지지 않은(unblocked) 부분에 대해 수행된다.

관찰자에게 도달하는 전체 반사 세기는, 모든 광원으로부터의 반사된 세기와 주변(ambient) 조명으로부터의 반사된 세기의 합이다. (f = 1)이라고 가정하면, 본 논문에서 사용되는 기본 반사 모델은 다음과 같다.

I_r = I_{ia} R_a + \sum_i I_i (N \cdot L_i)d\omega_i (sR_s + dR_d).

이 정식화(formulation)는 서로 다른 세기(intensity)와 서로 다른 투영 면적(projected area)을 가진 여러 광원들이 장면을 비출 수 있다는 효과를 반영한다.

예를 들어, 같은 세기

(I_i

) 와 같은 조명 각도

((N \cdot L))

를 가지는 광선이라도, 한 광선의 입체각

(d\omega_i)

가 다른 광선의 두 배라면, 표면은 두 배 더 밝게 보인다.

또는 한 광선이 세기는 두 배지만 같은 조명 각도와 같은 입체각을 가진 경우에도, 표면은 역시 두 배 더 밝게 보이게 된다.

본 논문은 장면 내 다른 객체들로부터의 반사를 고려하지 않는다. 이 반사는 표면이 완전히 매끄러울 경우 [24] 또는 [6]과 같이 계산될 수 있다. 하지만 이러한 순수한 정반사(specular) 반사조차도 파장에 의존해야 한다.

위에서 제시한 반사 모델은 여러 변수에 의존한다. 예를 들어, 세기는 **파장(wavelength)**에 따라 달라지고, (s) 와 (d) 는 **재질(material)**에 따라 달라지며, 반사 성분들은 표면의 기하학적 특성(geometry) 및 거칠기(roughness) 에 따라 달라진다.

다음 두 섹션에서는 방향성(directionality) 과 파장 의존성(wavelength dependence) 을 다룬다.

아래 설명은 무엇을 정의하는 식인지, 물리적으로 어떤 의미인지, 식들이 서로 어떻게 연결되는지 순서대로 짚어 나갑니다.

DIRECTIONAL DISTRIBUTION OF THE REFLECTED LIGHT

주변광 및 난반사 성분은 모든 방향으로 동일하게 빛을 반사한다. 따라서

R_a

와

R_d

는 관찰자의 위치에 의존하지 않는다. 반면, 정반사 성분은 관찰자의 위치에 따라 더 많은 빛을 반사할 수 있기 때문에

R_s

는 관찰자의 위치에 의존한다.

정반사 성분의 각도적 분포는 다음과 같이 설명될 수 있다. 표면이 여러 개의 미세면(microfacets) 으로 구성되어 있으며, 각 미세면은 정반사 특성을 가진다고 가정하는 것이다[23].

법선이 H 방향과 일치하는 미세면만이 입사 방향 L 에서 관찰자 방향 V 로의 정반사에 기여한다. 정반사 성분

R_s

는 다음과 같다.

R_s = \frac{F}{\pi} \frac{D G}{(N\cdot L)(N\cdot V)}

프레넬 항 F 는 각 미세면에서 빛이 반사되는 방식을 기술한다. 이는 입사각과 파장의 함수이며 다음 섹션에서 논의된다. 기하학 감쇠 항 G 는 한 미세면이 다른 미세면에 의해 가려지거나 마스킹되는 효과를 고려한다.

이 항은 [5, 6, 23]에서 자세히 논의되며, 간단히 표현하면 아래와 같다.

G = \min\left\{1,\ \frac{2(N\cdot H)(N\cdot V)}{(V\cdot H)},\ \frac{2(N\cdot H)(N\cdot L)}{(V\cdot H)}\right\}

면 기울기 분포 함수 D 는 법선이 H 방향을 향하는 미세면의 비율을 나타낸다. 여러 가지 면 기울기 분포 함수들이 제안되어 왔다.

Blinn[5, 6]에 의해 고려된 분포 모델 중 하나는 가우시안(Gaussian) 모델이다[23].

D = c e^{-(\alpha / m)^2}

여기서 c 는 임의의 상수이다.

Blinn이 언급한 것 외에도, 다른 면 기울기 분포 모델들이 존재한다. 특히 레이더 및 적외선 방사 반사를 다루는 모델들이 있으며, 가시광선에도 적용 가능하다.

예를 들어

•

Davies[9] 는 완전 도체의 거친 표면에서 반사되는전자기 방사(spatial distribution) 를 기술했다.

•

Bennett & Porteus[3] 는 이를 실제 금속에 적용하도록 확장했다.

•

Torrance & Sparrow[22] 는 비금속에도 적용 가능함을 보였다.

Beckmann[2] 은 매우 매끄러운 표면에서 매우 거친 표면까지 폭넓은 상황에 적용 가능한 종합적 이론을 제시했다. 거친 표면에서 Beckmann 분포 함수는 다음과 같다.

D = \frac{1}{m^2 \cos^4 \alpha} e^{-(\tan\alpha / m)^2}

이 분포 함수는 Blinn이 제시한 세 가지 함수와 형태가 비슷하다. Beckmann 함수의 장점은 임의의 상수를 도입하지 않고도 절대 반사량을 제공한다는 것이다. 단점은 계산량이 많다는 점이다.

모든 면 기울기 분포 함수에서, 정반사 분포의 폭은 제곱평균제곱근(root mean square, RMS) 기울기 m 에 의존한다.

•

m 이 작으면 → 미세면의 기울기가 완만 → 분포가 날카롭게 V 방향에 집중됨(그림 3a - Beckmann, 그림 3b - Gaussian)

•

m 이 크면 → 미세면의 기울기가 큼 → 넓게 퍼진 분포(그림 3c & 3d 비교, 두 모델의 유사성 언급)

표면 거칠기가 반사도의 파장 의존성에 미치는 영향은 거의 완전히 매끄러운 표면(파동 광학이 적용되는 영역)을 제외하면 거의 없다.

매우 매끄러운 표면에서는 D 가 파장 의존적이다. Beckmann 분포는 이 파장 의존성과, **물리광학(파동 이론)**과 기하광학(거친 표면) 두 영역 간 전이 구간을 다루는 장점이 있다.

단순화를 위해, 본 논문에서는 D 가 파장 의존적인 경우를 무시한다. (자세한 논의는 [2]와 [9] 참고)

일부 표면은 두 가지 이상의 거칠기(m) 스케일을 가질 수 있으며, 이 경우 두 개 이상의 분포 함수를 사용할 수 있다[16]. 이러한 경우 D 는 다음과 같이 표현된다.

D = \sum_j w_j D(m_j)

•

mjm_jmj​: j번째 분포의 RMS 기울기

•

wjw_jwj​: j번째 분포의 가중치

•

가중치 wjw_jwj​ 의 합은 항상 1

(a) Beckmann 분포, m=0.2 (b) Gaussian 분포, m=0.2 (c) Beckmann 분포, m=0.6 (d) Gaussian 분포, m=0.6

반사된 빛의 스펙트럼 구성(Spectral Composition of the Reflected Light)

주변광(ambient), 난반사(diffuse), 정반사(specular) 반사율은 모두 파장(wavelength) 에 의존한다.

다시 말해, 아래 항들은 모두 파장에 따라 달라진다:

R_a(\lambda), \;\; R_d(\lambda), \;\; F(\lambda)

여기서 (

R_a

)는 주변광 반사율, (

R_d

)는 난반사 반사율, (F)는 정반사 반사율(Fresnel 항)이다.

재질의 반사 스펙트럼 데이터를 사용하면 이 값들을 얻을 수 있다. 균질하지 않은(nonhomogeneous) 재질인 경우, 세 반사 성분이 서로 다른 스펙트럼을 가질 수 있다. 하지만 (

R_a

)는 다음처럼 다른 두 성분의 선형 결합으로 제한된다:

R_a(\lambda) = \alpha(\lambda)\,R_s(\lambda) + \beta(\lambda)\,R_d(\lambda)

재질의 반사 스펙트럼은 이미 수천 개가 측정되어 있으며 문헌으로 정리되어 있다 [10,17-19]. 이 값들은 보통 법선 입사(normal incidence) 조건에서 매끈한(polished) 표면에 대해 측정된다. 거친(rough) 표면의 BRDF로 사용하기 위해서는 다음 정규화가 필요하다:

R_{BRDF}(\lambda) = \frac{R(\lambda)}{\pi}

대부분의 재질은 가시광선 영역에서 약 10~15개 파장에 대해서만 측정되므로, 중간 파장 값은 보간(interpolation) 이 필요하다. 일반적으로 단순 선형 보간으로 충분하다. 예시로 구리 거울(copper mirror) 의 법선 입사 반사 스펙트럼이 Figure 4a에 나타나 있다. 반사 스펙트럼을 선택할 때는 측정 조건을 주의해야 한다. 왜냐하면 일부 금속은 시간이 지나면 산화층이 생겨 색이 크게 변하기 때문이다 [1].

반사된 빛의 스펙트럼 에너지 분포는 다음과 같이 계산한다:

E_r(\lambda) = E_i(\lambda) \cdot R(\lambda)

즉, 입사광의 스펙트럼 × 재질의 반사 스펙트럼 = 반사광의 스펙트럼 예시가 Figure 4b에 제시되어 있다. Figure 4의 상단 곡선은 CIE 표준 조명 D6500(흐린 낮 햇빛을 근사)을 나타낸다.

하단 곡선은 동일한 조명 아래 구리 거울에서 반사된 스펙트럼 분포인데, 이는 Figure 4a의 반사 스펙트럼을 곱해서 얻는다.

일반적으로 (

R_d

)와 (

F

)는 반사 기하(geometry of reflection) 에 따라 달라진다. 편의상, 우리는 (

R_d

)를 법선 방향에서 오는 조명에 대한 BRDF로 간주한다. 이는 표면 법선 기준 약 70° 이내의 입사각에서는 반사율 변화가 매우 작기 때문에 타당하다 [21].

다만, 입사 방향과 반사 방향이 매우 비스듬(Grazing angle) 할 때는 색 변화(color shift)가 나타날 수 있으므로 우리는 정반사 항 (F) 의 각도 의존성을 반드시 고려한다.

정반사 반사율 (F) 는 Fresnel 방정식을 통해 이론적으로 계산할 수 있다 [21].

이 방정식은 완벽히 매끄러운 거울(surface) 같은 표면에 대해 굴절률 (

n

)과 소멸계수 (

k

), 그리고 각도 (

\theta

) 의 함수로 표현된다:

F(\lambda, \theta) = \frac{1}{2} \left[ \left|\frac{\cos\theta - \eta(\lambda)}{\cos\theta + \eta(\lambda)}\right|^2 + \left|\frac{\eta(\lambda)\cos\theta - 1}{\eta(\lambda)\cos\theta + 1}\right|^2 \right]

여기서:

\eta(\lambda) = n(\lambda) - i\,k(\lambda)

일반적으로 (n)과 (k)는 파장에 따라 변하지만 정확하게 알려지지 않은 경우가 많다. 하지만 법선 입사 반사율(normal reflectance) 은 실험적으로 많이 측정되어 있다.

각도 및 파장 의존적인 (F) 값을 얻기 위해 우리는 다음과 같은 실용적 절충(practical compromise) 을 사용한다:

•

(n(λ)n(\lambda)n(λ)) 과 (k(λ)k(\lambda)k(λ)) 정보를 알고 있다면 → Fresnel 방정식 직접 사용

•

그렇지 않다면 → 측정된 법선 반사율에 Fresnel 방정식을 fitting 하여 파장/각도 변화에 따른 F(λ,θ)F(\lambda,\theta)F(λ,θ)를 계산한다.

수식	핵심 역할
( $R_a, R_d, F$ )	반사 성분 분리 (Ambient ,Diffuse, Fresnel/Specular)
선형 결합식	Ambient 반사의 구성
$(R/\pi)$	Lambert BRDF 정규화
$(E_r = E_i R)$	반사광의 스펙트럼 계산
Fresnel 공식	관찰각/파장별 정반사율
$(\eta=n-ik)$	재질의 복소 굴절률

Specular의 값 자체는 Fresnel F

Specular의 모양은 D,G 가 결정

그래서 Cook-Torrance에서 식이 이렇게 나옵니다:

f_{spec} = \frac{D(\mathbf{h}) \, F(\theta) \, G(\mathbf{l},\mathbf{v})} {4(n \cdot l)(n \cdot v)}

(a)

구리 거울의 법선 입사 반사율

(단위: 파장 λ는 마이크로미터)

구체적으로 말하면, 파장 약 0.4μm(보라/파랑 빛)에서는 반사율이 낮고, 0.6~0.7μm(노랑~빨강 빛) 부근에서는 반사율이 높아진다.

→ 구리가 적색 계열 파장을 강하게 반사한다는 것과 일치

(b)

상단 곡선:

CIE 표준 조명 D6500(흐린 낮 햇빛 근사)의

스펙트럼 에너지 분포

하단 곡선:

동일 조명(D6500) 아래

구리 거울에서 반사된 빛의 스펙트럼 에너지 분포

→ 즉, (하단 곡선) = (상단 곡선) × (반사율)

광택 표면의 반사율을 계산하는 방법을 설명합니다.

k=0

인 비금속의 경우, 굴절률

n

의 추정치를 즉시 얻을 수 있습니다. 금속처럼

k

가 0이 아닌 경우,

k

를 0으로 설정하여 수직 반사율로부터

n

의 유효 값을 구합니다. 이렇게 구한

n

을 프레넬 방정식에 대입하면

F

의 각도 의존성을 계산할 수 있습니다. 이 절차는 수직 입사 시 정확한

F

값을 제공하며, 소광 계수

k

에 약하게 의존하는 각도 의존성도 잘 추정합니다.

비편광 입사광과

k=0

일 때의 프레넬 방정식은 다음과 같습니다.

F = \frac{1}{2} \frac{(g - c)^2}{(g + c)^2} \left\{ 1 + \frac{[c(g + c) - 1]^2}{[c(g - c) + 1]^2} \right\}

여기서 각 변수는 다음과 같습니다.

c = \cos(\theta) = \mathbf{V} \cdot \mathbf{H}

g^2 = n^2 + c^2 - 1

(참고: [5]의 유사한 표현식에는

\frac{1}{2}

계수가 빠져 있습니다.)

수직 입사 시에는

\theta = 0

이므로

c = 1

g = n

이 되며, 식은 다음과 같이 단순화됩니다.

F_0 = \left\{ \frac{n - 1}{n + 1} \right\}^2

이 식을

n

에 대해 풀면 다음 방정식을 얻습니다.

n = \frac{1 + \sqrt{F_0}}{1 - \sqrt{F_0}}

이렇게 결정된

n

값을 프레넬 방정식에 대입하여 다른 입사각에서의 반사율

F

를 계산합니다. 이 과정을 여러 파장 대역에서 반복하면 반사율의 스펙트럼 및 방향 특성을 얻을 수 있습니다.

반사율이 파장과 입사각에 따라 달라지므로, 반사된 빛의 색상도 입사각에 따라 변합니다. 구리의 반사율 스펙트럼은 그림 5a에 나와 있습니다. 입사각

\theta

가

\pi/2

(90도)에 가까워질수록 반사된 빛의 색상은 광원의 색상에 가까워집니다(반사율

F

가 1에 가까워지기 때문입니다). 구리에서 백색광(CIE 표준 광원 D6500)이 반사될 때의 색상이

\theta

의 함수로 그림 5b에 나타나 있습니다. 프레넬 방정식에 의한 색상 변화는

\theta

가

\pi/2

에 가까워질 때(즉,

\mathbf{V}

와

\mathbf{L}

사이의 각도가

\pi

에 가까워질 때)만 중요합니다.

색상 변화를 계산하는 것은 비용이 많이 듭니다. 이를 두 가지 방법으로 단순화할 수 있습니다: 룩업 테이블을 생성하거나 근사법을 사용하는 것입니다. 먼저 평균 수직 반사율에 해당하는

n

값에 대해

F

값을 계산합니다. 그런 다음

\theta = 0

일 때의 재질 색상과

\theta = \pi/2

일 때의 색상 사이를 보간합니다.

\theta = \pi/2

일 때는 모든 파장에서

F_{\pi/2}

가 1.0이므로 색상은 광원의 색상이 됩니다. 예를 들어...

그림 5. (a) 파장 및 입사각에 따른 구리 거울의 반사율. (b) 입사각에 따른 구리의 색상. (c) 본 논문에서 논의된 방법으로 근사한 구리의 색상.

색상 성분 보간 공식

수직 입사 시 색상의 빨간색 성분을

\text{Red}0

, 입사광 색상(90도 입사 시)의 빨간색 성분을

\text{Red}{\pi/2}

라고 합시다. 다른 각도에서의 빨간색 성분은 다음과 같습니다.

\text{Red}_\theta = \text{Red}_0 + (\text{Red}_{\pi/2} - \text{Red}_0) \frac{\max(0, F_\theta - F_0)}{F_{\pi/2} - F_0}

녹색과 청색 성분도 같은 방식으로 보간됩니다. 그림 5는 입사각에 따른 구리의 색상을 추정하기 위해 이 근사 절차를 사용했을 때의 효과를 보여줍니다. 이 근사 절차는 완전한(그러나 계산 비용이 더 높은) 절차(그림 5b)와 유사한 결과를 산출합니다. 반사광의 스펙트럼 에너지 분포를 알 수 없는 경우에는 이 근사법을 사용해야 하며, 이 경우 모든 RGB 값은 추정치가 됩니다.

Determining the RGB Values

컴퓨터로 합성된 장면이 사실적이려면, 모니터로 보는 관찰자가 느끼는 색감이 실제 장면을 보는 관찰자가 느끼는 색감과 거의 같아야 합니다. 이를 위해 삼원색 재현 법칙을 사용하여 반사된 빛의 스펙트럼 에너지 분포를 사용 중인 모니터에 적합한 RGB 값으로 변환합니다.

모든 색감은 3차원 색 공간 내의 위치로 고유하게 표현됩니다. XYZ 공간이 그러한 색 공간 중 하나입니다. 이 공간의 한 점은 세 좌표, 즉 XYZ 삼자극치로 지정됩니다. 각 스펙트럼 에너지 분포는 XYZ 색 공간의 한 점, 즉 삼자극치와 연관됩니다. 두 스펙트럼 에너지 분포가 동일한 삼자극치를 가지면 동일한 색감을 만들어내며, 이를 메타머(조건등색)라고 부릅니다. 모니터의 빨강, 초록, 파랑 형광체는 일정 비율로 발광하여 모니터의 색역이라 불리는 XYZ 공간의 한 영역을 정의하는 스펙트럼 에너지 분포 집합을 생성할 수 있습니다. 따라서 목표는 반사된 빛의 스펙트럼 에너지 분포와 메타머 관계인 스펙트럼 에너지 분포를 생성하는 형광체 발광 비율을 찾는 것입니다.

이 비율은 반사된 빛의 스펙트럼 에너지 분포와 연관된 XYZ 삼자극치를 계산한 다음, 이 삼자극치를 생성하는 RGB 값을 계산하여 결정됩니다. 이를 위해 반사된 빛의 스펙트럼 에너지 분포에 모든 파장에서의 XYZ 등색 함수([7]에서 얻음)를 곱합니다. 결과 스펙트럼을 적분하여 XYZ 삼자극치를 얻습니다. 광원 유형과 표면 재질의 각 조합에 대해 미리 계산할 수 있는 이 XYZ 값들은 행렬 곱셈을 통해 특정 형광체 세트와 모니터 백색점에 대한 RGB 선형 휘도 값으로 변환됩니다. 그 후 선형 휘도는 모니터의 비선형성과 시청 환경을 고려하여 RGB 전압으로 변환됩니다. 자세한 설명은 [13]을 참조하십시오.

모니터 색역 제한과 보정

모니터는 주어진 색도를 재현할 수 있는 최대 휘도를 가지고 있습니다. 이 최대치보다 큰 휘도를 나타내는 XYZ 값은 모니터의 색역을 벗어난 것입니다. 이 문제를 피하기 위해 장면 내의 모든 XYZ 값을 동일하게 스케일링하여 모니터 색역 안으로 들어오도록 합니다. 보통 가장 큰 휘도를 가진 색상이 해당 색도에서 가능한 최대 휘도로 모니터에 재현되도록 합니다. 그러나 스케일링을 하더라도 일부 스펙트럼 에너지 분포는 모니터 색역을 벗어나는 삼자극치와 연관될 수 있습니다. 이러한 색상은 모니터에서 어떤 휘도로도 재현될 수 없으므로 모니터 색역 내의 유사한 색상으로 근사해야 합니다. 이 색상은 여러 방법으로 선택될 수 있습니다. 본 논문에서는 색조를 유지하면서 필요에 따라 채도를 낮추는 것이 적절하다고 결정했습니다. 이를 위해 삼자극치 XYZ 값을 주파장과 순도로 위치가 지정되는 색 공간으로 변환합니다. 그런 다음 색상이 모니터 색역 안에 들어올 때까지 주파장(따라서 대략적인 색조)은 유지하면서 순도를 줄입니다. 결과 색상은 다시 XYZ 공간으로 변환됩니다. (주파장과 순도에 대한 논의는 [12]를 참조하십시오.)

Application

이 절에서는 재귀반사 모델(reflectance model)을 금속과 플라스틱이라는 두 가지 특정 재질 범주에 적용하는 것을 다룬다. 주요 고려 사항은 재질의 균일성이다. 표면에 한 재질이 있고 그 아래에 다른 재질이 존재하는 등 다양한 물질로 구성된 경우, 비균질(nonhomogeneous) 하며, 표면과 내부가 서로 다른 스페큘러와 디퓨즈 성분을 가질 수 있고 색상도 다를 수 있다.

일반적인 플라스틱은 투명 또는 흰색의 기질(substrate) 위에 착색된 색소 입자가 포함되어 있다 [11]. 따라서 표면에서 직접 반사되는 빛은 광원에서 온 빛과 비교해 색 변화가 거의 없다. 색 변화가 존재한다면, 이는 표면 재질의 반사율 때문이다. 한편, 재질 내부로 들어간 빛은 색소와 상호작용하며, 내부에서 다중 반사가 일어나 색이있는 확산 반사(diffuse reflection) 를 만들어내게 된다.

따라서 플라스틱은 색이 있는 디퓨즈 성분 + 흰색 스페큘러 성분을 사용해 시뮬레이션할 수 있다. 이 모델은 Phong과 Blinn이 사용한 방식과 동일하며, 컴퓨터 그래픽스에서 스페큘러 성분이 두드러지는 이미지들이 플라스틱처럼 보이는 이유이기도 하다.

Figure 6a는 구리색 플라스틱 꽃병의 시뮬레이션을 보여준다.

이 그림은 다음과 같은 파라미터를 사용하여 생성되었다:

•

조명(2 lights)

Ii=CIE standarad illuminant D6500

dωi=0.0001 and 0.0002

◦

Specular(정반사)

s =0.1

F=the reflectance of vinyl mirror

D=Beckmann function (m = 0.15)

◦

Diffuse(난반사)

d=0.9

R_d

= the bidirectional reflectance of copper for normal incidence (법선 입사 시 구리의 양방향 반사도)

◦

Ambient(주변광)

I_ia

0.01I_i

R_a=πRdR_a

금속은 전기를 전도한다. 입사된 전자기파는 표면 근처의 전자들을 동하게 하여, 다시 파를 방출(재방출, reflection) 하게 만든다. 금속 내부로의 깊이 침투는 거의 없으며, 침투 깊이는 소멸 계수(extinction coefficient) k가 클수록 감소한다.

결과적으로 금속의 반사는 사실상 표면에서만 일어난다 [17].

이 때문에 내부 반사에 의한 디퓨즈 성분이 거의 존재하지 않는다. 즉, 비금속에서 중요한 디퓨즈 성분이 금속에서는 무시될 수 있다.

표면의 거칠기 rms(root mean square) slope m이 작은 경우, 다중 표면 반사도 무시 가능하며, 전체 디퓨즈 성분이 사라진다.

Figure 6b는 구리 금속 꽃병의 시뮬레이션을 보여준다.

다음 파라미터를 사용했다:

•

Specular

s=1.0

F=the reflectance of a copper mirror

D=Beckmann function D

m_1=0.4, w_1 = 0.4, m_2=0.2, w_2=0.6

•

Diffuse

d=0.0

•

Ambient(주변광)

I_ia

0.01I_i

R_a=πRdR_a

두 가지 rms slope 값을 사용하여 현실적인 거친 표면을 생성하고 있다.

스페큘러 반사 성분은 구리 고유의 색을 가진다.

시계 그림에는 다양한 재질과 표면 상태를 지닌 시계가 표현되어 있다.

조명은 단일 광원이다.

•

외부 밴드: 금(gold)

•

내부 밴드: 스테인리스강

•

밴드의 외곽과 내부는 서로 다른 거칠기를 사용하여 패턴 형성

•

시계 안의 LED: 표준 640nm 적색 LED

◦

해당 LED의 색은 같은 주파수대의 대표 파장 기반으로 근사

CONCLUSIONS

다음과 같은 결론을 도출할 수 있다.

스페큘러 성분(specular component)은 보통 광원의 색이 아니라 재질 자체의 색을 따른다. 만약 재질이 비균질(nonhomogeneous)하다면, 주변광(ambient), 디퓨즈(diffuse), 스페큘러(specular) 성분이 서로 다른 색을 가질 수 있다.

양방향 반사(bidirectional reflectance) 개념은 동일한 장면에서 서로 다른 광원과 재질을 시뮬레이션하기 위해 필요하다.

Blinn이 사용한 facet slope 분포 모델은 계산이 용이하며, 광학 분야의 다른 모델들과 매우 유사하다. 표면을 표현하기 위해 여러 개의 facet slope 분포 함수들을 조합할 수도 있다.

프레넬 방정식(Fresnel equation) 은 스페큘러 성분의 색 변화(color shift)가 큰 입사각(grazing angle) 에서 발생함을 예측한다. 이 색 변화를 계산하는 것은 계산 비용이 높기 때문에, 보통 근사 과정(approximation) 또는 룩업 테이블(lookup table) 이 사용된다.

특정 재질에서 반사되는 빛의 스펙트럼 에너지 분포(spectral energy distribution) 는 광원의 스펙트럼 분포 + 재질의 반사 스펙트럼 을 함께 사용한 반사 모델을 통해 얻을 수 있다. 또한, 삼자극색법(trichromatic color reproduction)의 법칙을 적용하여, 이 스펙트럼 에너지 분포를 디스플레이 모니터의 적절한 RGB 값으로 변환할 수 있다.

어떤 물질(대표적으로 일부 칠해진 물체나 플라스틱)의 경우, 스페큘러 성분과 디퓨즈 성분의 색이 서로 다른 경우가 있다. 반면, 금속의 경우에는 스페큘러 성분의 색은 광원과 금속의 반사율에 의해 결정되며, 디퓨즈 성분은 대부분 무시될 수 있다.

ACKNOWLEDGMENTS

이 연구는 코넬 대학교 컴퓨터 그래픽스 프로그램(Program of Computer Graphics at Cornell University) 에서 수행되었다. 저자들은 이 논문에 귀중한 기여를 해준 Gary Meyer 에게 감사를 전한다.

그의 색상 소프트웨어 및 광도 측정 장비 덕분에, 스펙트럼 에너지 분포를 정확하게 RGB 값으로 변환할 수 있었다. 저자들은 또한 연구 전 과정에서 유익한 논의와 제안을 제공해준 Dr. Donald Greenberg 에게 감사를 표한다. 시계 모델은 Stuart Sechrest와의 공동 작업의 결과물이다.

References

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