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선형 운동학과 미적분(Linear Kinematics and Calculus)

미래는 언제나 움직이고 있지. — 『스타워즈 에피소드 V: 제국의 역습』(1980)의 요다
“신사 숙녀 여러분, 중앙 무대를 주목해 주십시오. 눈앞에 평범한 교과서 두 권이 있습니다. 하나에는 『대학 물리학』, 다른 하나에는 『미적분학』이라고 쓰여 있습니다. 합해서 2,500쪽이 넘고 무게는 25파운드가 넘습니다. 그런데 이번 장과 다음 장에서 용감한 곡예사 저자들은 신비와 눈속임으로 가득한, 목숨을 건 불가능한 묘기에 도전합니다. 이 거대한 두 책을 겨우 150쪽으로 줄여 보이겠습니다!”
훌륭한 서커스 공연이 다 그렇듯, 이 공연도 기대감을 조절하기 위한 긴 서두로 시작합니다. 다만 여기서는 그 서두의 목적이 기대를 낮추는 것 이라는 점이 다릅니다.

11.1 개요와 기대를 낮추기 위한 몇 마디 (Scope and Assumptions)

좋습니다. 물리학과 미적분학 전체를 두 장에서 다룰 수는 없습니다. 정치인이라면 누구나 알듯이 복잡한 주제를 짧은 시간에 효과적으로 전달하는 비결은 거짓말입니다. 빼놓아서 하는 거짓말과 대놓고 하는 거짓말을 모두 써야 합니다. 실제로 무엇을 준비했는지 알 수 있도록 두 종류를 차례로 이야기해 보겠습니다.

11.1.1 무엇을 빼놓았는가?

거의 모든 것입니다. 우선 물리학에서 무엇을 빼놓았는지 보겠습니다. 이 장에 ‘물리학’이라는 이름까지 붙인다면, 이미 충분한데도 진짜 물리학을 하는 사람들을 한층 더 모욕하는 셈일 것입니다. 우리가 다루는 것은 역학뿐이고, 그것도 강체에 관한 매우 간단한 역학입니다. 보통 대학 1학년 물리 교과서에 있지만 이 책에서는 다루지 않는 주제는 다음과 같습니다.
•
에너지와 일
•
온도, 열전달, 열역학, 엔트로피
•
전기, 자기, 빛
•
기체, 유체, 압력
•
진동과 파동
에너지와 일에 대해서는 설명이 필요합니다. 역학이라는 제한된 문맥에서도 전통적인 설명에서는 에너지라는 근본 개념이 중심 역할을 하기 때문입니다. 힘을 고려하고 뉴턴 법칙을 적용하는 것보다 에너지 보존을 사용하면 더 쉽게 풀리는 문제가 많습니다. 사실 이 책에서 다룰 뉴턴 역학의 대안도 있습니다.
라그랑주 역학(Lagrangian dynamics) 이라고 하며 힘보다 에너지에 초점을 맞춥니다. 제대로 사용하면 두 체계는 같은 결과를 내지만, 라그랑주 역학은 어떤 문제를 더 우아하게 풀 수 있고, 원문에서는 특히 마찰을 다루는 데 뉴턴 역학보다 능숙하다고 설명합니다.
그러나 이 책을 집필할 당시의 기본적인 범용 디지털 시뮬레이션은 뉴턴 역학을 기반으로 하며 에너지가 직접적인 역할을 하지는 않습니다. 그렇다고 에너지를 이해하는 일이 쓸모없다는 뜻은 아닙니다. 실제로 많은 시뮬레이션 문제의 핵심에는 에너지 보존 법칙을 어기는 현상이 있습니다!
그래서 에너지가 시뮬레이션 코드에 직접 등장하지 않더라도, 디지털 시뮬레이션의 행동이나 잘못된 행동을 이해하는 방법으로 자주 등장합니다.
이번에는 이 책이 미적분 교수들을 어떻게 짜증 나게 할지 이야기하겠습니다. 우리는 물리학의 많은 개념을 제대로 이해하려면 미적분에 대한 기본적인 이해가 정말 중요하다고 생각합니다. 반대로 물리학은 미적분을 설명하는 데 가장 좋은 예제들을 제공합니다. 미적분과 물리학은 흔히 따로 가르치며, 대개 미적분을 먼저 배웁니다.
우리의 생각에는 이 방식이 미적분을 더 배우기 어렵게 만듭니다. 학생에게서 가장 직관적인 예제들, 바로 미적분이 애초에 풀기 위해 발명된 물리 문제들을 빼앗기 때문입니다! 미적분과 물리학을 번갈아 설명하면 미적분을 더 쉽게 배울 수 있기를 바랍니다.
이 책에서 필요한 미적분은 매우 소박합니다. 물리학보다도 더 많은 내용을 빼놓았습니다. 이 장을 읽고 나면 다음 정도를 알게 될 것입니다.
•
도함수가 무엇을 측정하고 어디에 쓰이는지에 대한 기본 개념.
•
적분이 무엇을 측정하고 어디에 쓰이는지에 대한 기본 개념.
•
다항식과 삼각함수가 들어 있는 아주 간단한 식의 미분과 적분.
물론 이미 이 정도 지식이 있는 독자도 많을 것입니다. 잠시 자신이 다음 중 어디에 속하는지 생각해 보겠습니다.
1.
도함수나 적분에 대해 전혀 모릅니다.
2.
도함수와 적분의 기본 개념은 알지만, 대학 1학년 미적분 문제를 종이와 연필로 풀지는 못할 것 같습니다.
3.
미적분을 공부한 적이 있습니다.
이 책에는 2번 수준이면 충분합니다. 우리의 목표는 현재 1번에 속한 모든 독자를 2번으로 옮기는 것입니다. 3번 독자에게 미적분 설명은 복습이 될 것이며, 즐겁게 복습할 수 있기를 바랍니다. 아직 3번에 이르지 못한 사람을 이 책만으로 3번에 올릴 수 있다는 환상은 없습니다.

11.1.2 우리 우주에 관한 몇 가지 유용한 거짓말

원문은 우주가 공간과 시간 모두에서 불연속적이라고 흔히 여겨진다는 설명으로 시작합니다. 물질이 원자라는 불연속적인 덩어리로 나뉠 뿐 아니라, 공간과 시간의 짜임 자체도 불연속적인 조각으로 나뉜다는 증거가 있다는 것입니다. 실제로 그런 것인지, 아니면 공간과 상호작용하는 유일한 방법이 입자를 던지는 것이어서 그렇게 보일 뿐인지는 의견이 갈립니다.
하지만 우리의 의견은 이렇습니다. 오리처럼 생겼고, 오리처럼 걷고, 오리처럼 꽥꽥거리며, 물갈퀴와 부리가 있다면, 진한 소스를 조금 곁들여 에그롤 속에 넣었을 때 맛있을 것이라는 가설은 꽤 쓸 만합니다.
아주 오랫동안 우주가 연속적이지 않을 수도 있다는 생각을 떠올린 사람은 없었습니다. 그러다가 고대 그리스인들이 세상 만물이 원자로 이루어졌을지도 모른다는 황당하고 근거 없는 발상을 했습니다. 나중에 이것이 사실로 밝혀진 것은 좋은 판단보다는 운이 좋았기 때문이라고 보는 사람이 많습니다.
솔직히 누가 그런 생각을 했을까요? 지금 저자 한 사람이 이 문장을 타이핑하며 손목을 얹고 있는 책상처럼, 일상적인 물건들은 어디로 봐도 매끈하고 연속적인 표면처럼 보입니다. 하지만 그게 무슨 상관일까요? 책상을 매끈하고 연속적인 표면이라고 생각하는 것은 무해하면서도 유용한 착각입니다.
덕분에 원자 결합 에너지나 양자 불확정성 이론을 전혀 걱정하지 않고 편안하게 손목을 얹을 수 있습니다.
세상을 연속적이라고 생각하는 요령은 편리한 심리적 합리화일 뿐 아니라 수학적으로도 훌륭합니다. 연속적인 대상을 다루는 수학이 불연속적인 대상을 다루는 수학보다 훨씬 덜 번거롭기 때문입니다. 그래서 원문은 15세기에 세계가 어떻게 움직이는지 생각하던 사람들이 연속적인 우주를 위한 수학을 기꺼이 발명했다고 설명합니다.
실험적으로는 현실을 잘 근사했고, 이론적으로는 수학이 잘 풀렸기 때문입니다. 그리하여 아이작 뉴턴 경은 우리가 ‘미적분’이라고 부르는 연속 수학의 많은 기본 결과와, 이를 연속적인 우주를 탐구하는 ‘물리학’에 응용하는 방법을 발견할 수 있었습니다.
이제 우리가 주로 이런 일을 하는 이유는 본질적으로 불연속적인 컴퓨터 안에 게임 세계를 모델링하기 위해서입니다. 불연속적인 우주의 연속 모델을 불연속적으로 시뮬레이션하는 프로그램을 만든다니 다소 인지부조화가 느껴지지만, 신경 쓰지 않기로 하겠습니다. 게임 안의 불연속 우주는 우리가 완전히 통제합니다.
따라서 그 우주에서 어떤 물리 법칙이 적용될지도 선택할 수 있습니다. 실제로 필요한 것은 물리 법칙이 우리가 익숙한 것과 충분히 비슷해서 플레이어가 기꺼이 의심을 거두고 몰입하는 것입니다. 그리고 바라건대 “와! 멋지다!”라고 말하며 돈을 더 쓰고 싶어 하게 하는 것입니다.
거의 모든 게임에서 이는 양자역학이나 상대성이론의 성가신 세부사항이 없는 아늑한 뉴턴 우주를 뜻합니다. 안타깝게도 다리 밑에는 혼돈(chaos) 과 불안정성(instability) 이라는 두 못된 트롤이 숨어 있다는 뜻이기도 합니다. 하지만 최선을 다해 달래 보겠습니다.
지금은 ‘입자(particle)’라는 작은 물체의 운동을 다룹니다. 어느 순간이든 그 위치와 속도를 안다고 하겠습니다.〔주1〕 이 입자에는 질량이 있습니다. 지금은 자세를 신경 쓰지 않으므로 입자가 회전한다고 생각하지도 않습니다. 크기도 없습니다. 입자에서 강체로 넘어갈 때까지 이 요소들은 나중으로 미루겠습니다.
우리가 공부하는 것은 고전역학(classical mechanics), 또는 뉴턴역학(Newtonian mechanics) 입니다. 여기에는 일반적으로는 틀리지만, 일상생활에서 우리에게 정말 중요한 대부분의 상황에서는 맞는 단순화 가정들이 들어 있습니다. 원한다면 컴퓨터 세계 안에서는 그 가정들이 반드시 맞도록 만들 수도 있습니다. 가정들은 다음과 같습니다.
•
시간은 절대적입니다.
•
공간은 유클리드 공간입니다.
•
정확한 측정이 가능합니다.
•
우주는 인과성을 따르며 완전히 예측 가능합니다.
앞의 두 가정은 상대성이론에 의해, 뒤의 두 가정은 양자역학에 의해 무너집니다. 다행히 비디오 게임에는 이 두 주제가 필요 없습니다. 저자들은 둘 다 평범한 수준 이상으로 이해하고 있지 않기 때문입니다.
역학 탐구는 운동학(kinematics) 을 배우는 것부터 시작합니다. 여러 단순하지만 흔한 상황에서 입자의 운동을 기술하는 방정식을 연구하는 분야입니다. 운동학에서는 운동의 원인을 다루지 않습니다. 원인은 동역학(dynamics) 의 주제이며 12장에서 다룹니다. 당분간 ‘우리는 이유를 묻지 않고’, 주어진 시각 tt에서 입자의 위치·속도·가속도를 예측하는 식을 얻기 위해 계산하거나 죽을 뿐입니다. 아니, 마지막 부분은 잊겠습니다.
물체를 입자로 취급하고 위치만 추적하므로 자세나 회전 효과는 12장까지 고려하지 않습니다. 회전을 무시하면 선형 운동학의 모든 개념은 3차원에도 곧바로 확장됩니다. 그래서 지금은 2차원과 1차원으로 제한하겠습니다. 이는 편리합니다. 저자들은 책을 열면 납작하게 접혀 있던 종이가 입체로 튀어나오는, 그런 작은 종이접기 같은 장치를 만드는 법을 모르기 때문입니다.
설령 집요하게 배운다 해도 출판사가 허락하지 않을 것입니다. 물체를 입자로 취급하는 것이 왜 충분히 정당한지는 나중에 알아볼 것입니다.
〔주1〕 하이젠베르크 덕분에 원자 수준에서는 이것이 불가능하다는 사실을 알고 있습니다. 하지만 ‘작다’고 했다고 해서 그렇게까지 작다는 뜻은 아니었습니다.
💡
원문 계산식 점검 · 11.1.2의 역사·모형 설명
뉴턴의 미적분을 ‘15세기’라고 하는 문장은 같은 장 11.4의 ‘17세기’와 충돌합니다. 17세기로 읽어야 합니다. 공간과 시간이 본질적으로 불연속이라는 논의도 이 장의 운동학 공식이 요구하는 전제가 아닙니다. 여기서 사용하는 수학 모형은 연속인 시간과 위치입니다.

11.2 기본 물리량과 단위 (Units)

역학은 자연의 세 기본 물리량, 즉 길이·시간·질량 사이의 관계를 다룹니다. 길이는 틀림없이 익숙한 물리량입니다. 센티미터, 인치, 미터, 피트, 킬로미터, 마일, 천문단위 등으로 측정합니다.〔주2〕 시간도 측정에 매우 익숙한 물리량입니다. 사실 대부분은 거리를 재는 법보다 시계 보는 법을 먼저 배웠을 것입니다.〔주3〕 시간의 단위에는 익숙한 초, 분, 일, 주, 2주(fortnight)〔주4〕 등이 있습니다.
월과 연은 달마다, 해마다 지속시간이 달라서 좋은 시간 단위가 아닐 때가 많습니다.
질량은 길이나 시간만큼 직관적이지는 않습니다. 흔히 물체에 들어 있는 ‘물질의 양’을 재는 것이라고 생각합니다. 나쁜 정의는 아니고, 적어도 완전히 형편없지는 않지만, 정확한 정의도 아닙니다 [57]. 더 정확하게는 질량을 관성(inertia) 의 척도, 즉 물체가 가속되는 데 얼마나 저항하는지의 척도라고 할 수 있습니다. 질량이 클수록 움직이기 시작하거나, 멈추거나, 운동을 바꾸는 데 더 큰 힘이 필요합니다.
질량은 무게(weight) 와 자주 혼동됩니다. 특히 그램, 파운드, 킬로그램, 톤 등의 질량 단위가 일상적으로 무게를 재는 데도 쓰이기 때문입니다. 질량은 물체에 내재한 성질인 반면, 무게는 가까운 무거운 물체가 가하는 중력의 세기에 따라 달라지는 국소적인 현상입니다.
시카고에 있든, 달에 있든, 목성 근처에 있든, 가장 가까운 천체에서 수 광년 떨어져 있든 당신의 질량은 같지만 무게는 각각 매우 다릅니다. 이 책과 대부분의 비디오 게임에서는 비교적 작은 평평한 지구의 한 부분만 다루고, 중력을 아래로 당기는 일정한 힘으로 근사합니다. 우리에게 중력은 일정하므로 질량과 무게를 혼동해도 큰 해는 없을 것입니다.
다만 국제우주정거장에 관한 멋진 연습문제 몇 개는 참을 수 없었습니다.
많은 상황에서는 사용하는 측정 단위를 신경 쓰지 않고 기본 물리량들의 관계를 이야기할 수 있습니다. 이럴 때는 길이·시간·질량을 각각 L,T,ML,T,M으로 나타내면 편리합니다. 중요한 예 하나가 유도 물리량(derived quantity) 의 정의입니다. 길이·시간·질량이 기본 물리량이라고 했지만, 넓이·부피·밀도·속력·진동수·힘·압력·에너지·일률 등 물리학에서 측정하는 수많은 다른 물리량은 어떨까요?
이들에는 각각 별도의 대문자를 부여하지 않습니다. 모두 기본 물리량으로 정의할 수 있기 때문입니다.
예를 들어 넓이를 ‘제곱피트’로 나타낼 수 있습니다. 다른 단위로부터 새로운 단위를 만든 셈입니다. 물리학에서는 넓이가 ‘길이의 제곱’, 즉 L2L^2 단위를 가진다고 합니다. 속력은 어떨까요? 시속 마일이나 초속 미터 같은 단위로 잽니다. 따라서 속력은 단위 시간당 거리의 비율, 즉 L/TL/T입니다.
마지막 예는 진동수(frequency)입니다. 알다시피 주어진 시간 간격 동안 어떤 일이 몇 번 일어나는지, 즉 얼마나 ‘빈번하게’ 일어나는지를 측정합니다. 원문은 예로 건강한 성인의 평균 심박수가 분당 약 70회(BPM)라고 설명합니다. 자동차 엔진은 분당 5,000회전(RPM)으로 돌 수 있습니다.
NTSC 텔레비전 표준의 프레임 속도는 초당 29.97프레임(FPS)입니다. 이 모든 경우는 정해진 시간 동안 사건이 몇 번 발생하는지를 셉니다. 따라서 일반적인 단위로는 1/T1/T 또는 T−1T^{-1}이라고 쓰며, ‘단위 시간당’이라고 읽을 수 있습니다. 가장 중요한 진동수 단위 중 하나는 헤르츠(Hertz), 약어 Hz입니다.
‘초당’을 뜻합니다. Hz로 진동수를 표현하면 사건, 진동, 심장박동, 비디오 프레임 등 무엇이든 초당 몇 번 일어나는지를 기술하는 것입니다. 정의에 따라 1 Hz=1 s−11\,\mathrm{Hz}=1\,\mathrm{s}^{-1}입니다.
표 11.1은 여러 물리량, 기본 물리량과의 관계, 흔한 측정 단위를 정리합니다.
표 11.1. 주요 물리량과 흔히 쓰는 측정 단위
물리량
표기
SI 단위
기타 단위
길이
LL
m
cm, km, in, ft, mi, 광년, 펄롱
시간
TT
s
min, hr, ms
질량
MM
kg
g, slug, lb(파운드 질량)
속도
L/TL/T
m/s
ft/s, m/hr, km/hr
가속도
L/T2L/T^2
m/s2\mathrm{m/s^2}
ft/s2\mathrm{ft/s^2}, (m/hr)/s, (km/hr)/s
힘
ML/T2ML/T^2
N(뉴턴) =kg⋅m/s2=\mathrm{kg\cdot m/s^2}
lb(파운드 힘), poundal
넓이
L2L^2
m2\mathrm{m^2}
mm2,cm2,km2,in2,ft2,mi2\mathrm{mm^2,cm^2,km^2,in^2,ft^2,mi^2}, 에이커, 헥타르
부피
L3L^3
m3\mathrm{m^3}
mm3,cm3\mathrm{mm^3,cm^3}, L(리터), in3,ft3\mathrm{in^3,ft^3}, 티스푼, fl oz(액량 온스), 컵, 파인트, 쿼트, 갤런
압력
힘/넓이 =(ML/T2)/L2=M/(LT2)=(ML/T^2)/L^2=M/(LT^2)
Pa(파스칼) =N/m2=kg/(m⋅s2)=\mathrm{N/m^2}=\mathrm{kg/(m\cdot s^2)}
psi(lbs/in2\mathrm{lbs/in^2}), 밀리바, 수은주 인치, atm(기압)
에너지
힘 × 길이 =(ML/T2)⋅L=ML2/T2=(ML/T^2)\cdot L=ML^2/T^2
원문: J(줄) =N⋅m2=kg⋅ms2⋅m=kg⋅m2s2=\mathrm{N\cdot m^2}=\frac{\mathrm{kg\cdot m}}{\mathrm{s^2}}\cdot\mathrm m=\frac{\mathrm{kg\cdot m^2}}{\mathrm{s^2}}
kW·hr(킬로와트시), 피트파운드, 에르그, 칼로리, BTU(영국 열량 단위), TNT 톤
일률
에너지/시간 =(ML2/T2)/T=ML2/T3=(ML^2/T^2)/T=ML^2/T^3
W(와트) =J/s=kg⋅m2s2⋅s−1=kg⋅m2s3=\mathrm{J/s}=\frac{\mathrm{kg\cdot m^2}}{\mathrm{s^2}}\cdot\mathrm{s}^{-1}=\frac{\mathrm{kg\cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}
hp(마력)
진동수
1/T=T−11/T=T^{-1}
Hz=1/s=s−1\mathrm{Hz}=1/\mathrm s=\mathrm{s}^{-1}, 즉 ‘초당’
KHz = 1,000 Hz, MHz = 1,000,000 Hz, ‘분당’, ‘연간’
물론 실제 측정값에는 구체적인 단위를 붙여야 의미가 생깁니다. 계산이 언제나 말이 되게 하는 한 가지 방법은 단위를 끝까지 함께 쓰고 대수적 변수처럼 취급하는 것입니다. 예를 들어 압력을 구했는데 답의 단위가 m/s라면 뭔가 잘못했다는 사실을 알 수 있습니다. 압력의 단위는 단위 넓이당 힘, 즉 ML/(T2L2)ML/(T^2L^2)이기 때문입니다.
반대로 파스칼 값이 필요한데 답이 제곱인치당 파운드(psi)로 나왔다면, 아마 답 자체는 맞고 원하는 단위로 바꾸기만 하면 될 것입니다. 이런 추론을 차원 분석(dimensional analysis) 이라고 합니다. 단위를 끝까지 유지하면서 대수적 변수처럼 취급하면 다른 측정 단위 때문에 생긴 실수를 드러내는 경우가 많고, 단위 변환도 손쉽게 할 수 있습니다.
단위 변환은 중요한 기술이므로 간단히 복습하겠습니다. 기본 개념은 측정값에 값이 1인 적절한 분수를 곱해 한 단위 체계에서 다른 단위 체계로 옮기는 것입니다. 간단한 예로 14.57미터는 몇 피트일까요? 변환 계수를 찾아보면〔주5〕 1 m≈3.28083 ft1\,\mathrm m\approx3.28083\,\mathrm{ft}입니다. 따라서 1 m/(3.28083 ft)≈11\,\mathrm m/(3.28083\,\mathrm{ft})\approx1입니다. 이제 측정값에 특별한 ‘1’을 곱하겠습니다.
14.57 m=14.57 m×1≈14.57 m×3.28083 ft1 m≈47.80 ft.(11.1)14.57\,\mathrm m=14.57\,\mathrm m\times1 \approx14.57\,\mathrm m\times\frac{3.28083\,\mathrm{ft}}{1\,\mathrm m} \approx47.80\,\mathrm{ft}.\tag{11.1}
변환 계수에 따르면 식 (11.1)의 분자와 분모는 같습니다. 3.28083피트는 1미터와 같은 길입니다. 분자와 분모가 같으므로 이 분수의 ‘값’은 1입니다. 물론 이것은 물리적인 의미에서이며, 숫자만 보면 분수가 1인 것은 아닙니다. 어떤 값에 1을 곱해도 값이 변하지 않는다는 것은 알고 있습니다. 단위를 대수적 변수처럼 취급하므로 왼쪽의 m과 분모의 m이 약분됩니다.
간단한 변환 계수 하나를 적용하기는 어렵지 않습니다. 조금 복잡한 예를 보겠습니다. 188 km/hr를 ft/s로 바꾸려면 이번에는 ‘1’을 여러 번 곱해야 합니다.
188kmhr×1 hr3600 s×1000 m1 km×3.28083 ft1 m≈171fts.188\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{hr}} \times\frac{1\,\mathrm{hr}}{3600\,\mathrm s} \times\frac{1000\,\mathrm m}{1\,\mathrm{km}} \times\frac{3.28083\,\mathrm{ft}}{1\,\mathrm m} \approx171\frac{\mathrm{ft}}{\mathrm s}.
〔주2〕 원문에서 천문단위는 지구와 태양 사이의 평균 거리로 설명되며, 약 1억 5천만 킬로미터 또는 9천 3백만 마일입니다. 큰 수이기는 하지만 ‘천문학적’이라고까지 말하고 싶지는 않습니다.
〔주3〕 사실 요즘은 더 쉽습니다. 저자들 같은 공룡이나 바늘이 달린 아날로그 시계를 읽을 줄 압니다.
〔주4〕 좋습니다. 이 단위는 별로 익숙하지 않을 수도 있습니다. 저자 한 사람에게는 익숙하지만, 그가 영국인이기 때문입니다.
〔주5〕 ‘찾아본다’는 것은 인터넷을 사용한다는 뜻입니다. 온라인에서 쉽게 찾을 수 있는 정보 표를 싣기에는 이 책의 공간이 부족합니다. 우리의 의견과 농담, 쓸데없는 각주를 넣을 자리가 필요했습니다.
💡
단위를 코드의 일부로 취급하기
거리 단위를 m, 시간 단위를 s로 정했다면 위치는 m, 속도는 m/s, 가속도는 m/s²입니다. 프레임 간격을 밀리초로 받았다면 1000으로 나눈 뒤 속도와 곱해야 합니다. 질량 kg과 무게 N도 서로 다른 값입니다. 일정한 중력 환경에서도 힘을 계산할 때는 F=ma\mathbf F=m\mathbf a를 사용하고, 질량 변수에 무게를 넣지 않습니다. 삼각함수의 미분식은 각도를 라디안으로 넣는다는 전제가 있습니다.
💡
원문 계산식 점검 · 표 11.1 에너지 단위
원문의 J=N⋅m2\mathrm J=\mathrm{N\cdot m^2}는 오탈자입니다. 맞는 식은 J=N⋅m=kg⋅m2/s2\mathrm J=\mathrm{N\cdot m}=\mathrm{kg\cdot m^2/s^2}입니다. 표에 함께 적힌 차원 ML2/T2ML^2/T^2로도 확인할 수 있습니다. 킬로헤르츠의 표준 단위 기호는 kHz입니다.

11.3 평균속도 (Average Velocity)

운동학 공부는 속력이라는 간단한 개념을 좀 더 자세히 보는 것부터 시작합니다. 속력은 어떻게 측정할까요? 가장 흔한 방법은 정해진 거리를 이동하는 데 걸린 시간을 재는 것입니다. 예를 들어 달리기 경주에서는 가장 짧은 시간에 완주한 선수가 가장 빠르다고 말합니다.
토끼와 거북이 우화를 생각하겠습니다. 둘은 경주를 하기로 하고, 토끼는 초반에 크게 앞서 나가자 과신하고 주의가 흐트러집니다. 경주 도중 멈춰 낮잠을 자거나 꽃향기를 맡는 등 빈둥거립니다. 그동안 거북이는 터벅터벅 계속 걸어 결국 토끼를 지나 먼저 결승선을 통과합니다. 이 책은 자기계발서가 아니라 수학책이므로 집중과 끈기에 관한 교훈은 잠시 무시하고, 이 이야기가 평균속도에 대해 무엇을 가르쳐 주는지 생각하겠습니다.
그림 11.1은 시간에 따른 두 동물의 위치를 나타냅니다.
그림 11.1
그림 11.1. 토끼와 거북이의 경주에서 시간에 따른 위치 그래프.
경주를 중계하면 이렇습니다. 시각 t0t_0에 출발 신호가 울리고 토끼는 t1t_1까지 앞으로 질주합니다. 그 시점부터 자만심 때문에 속도를 늦추다가, t2t_2에 귀여운 암토끼가 반대 방향으로 지나갑니다. 암토끼의 시간별 위치는 그림에 그리지 않았습니다. 이때 또 다른 비극적인 남성적 성향 때문에 토끼는 돌아서서 그녀와 함께 걸으며 말을 겁니다.
t3t_3에 토끼는 자신의 접근이 아무 성과도 없다는 사실을 깨닫고, 풀이 죽어 트랙을 앞뒤로 서성이다가 t4t_4에 낮잠을 자기로 합니다. 그동안 거북이는 느리지만 꾸준히 전진하여 t5t_5에 잠든 토끼를 따라잡습니다. 계속 터벅터벅 걸어 t6t_6에 결승선을 통과합니다.
얼마 지나지 않아 거북이의 승리를 축하하는 관중 소리에 깼는지, 토끼는 t7t_7에 잠에서 깨어 허겁지겁 결승선으로 달립니다. t8t_8에 결승선을 통과하지만 친구들 모두에게, 그리고 귀여운 암토끼에게도 망신을 당합니다.
어떤 시간 구간에서든 두 동물의 평균속도를 측정하려면 그 동물의 변위를 구간의 지속시간으로 나누면 됩니다. 여기서는 토끼에 집중하겠습니다. 토끼의 위치를 xx, 또는 위치가 시간의 함수라는 사실을 강조하고 싶으면 x(t)x(t)라고 쓰겠습니다. 대문자 그리스 문자 델타 Δ\Delta를 앞에 붙여 ‘변화량’을 나타내는 것이 흔한 관례입니다.
예를 들어 Δx\Delta x는 ‘토끼 위치의 변화’, 즉 토끼의 변위를 뜻합니다. 마찬가지로 Δt\Delta t는 ‘현재 시간의 변화’, 간단히 말해 두 시각 사이의 경과시간입니다. 이 표기를 사용하면 tat_a에서 tbt_b까지 토끼의 평균속도는 다음과 같습니다.
평균속도의 정의
평균속도=변위경과시간=ΔxΔt=x(tb)−x(ta)tb−ta.\text{평균속도}=\frac{\text{변위}}{\text{경과시간}} =\frac{\Delta x}{\Delta t} =\frac{x(t_b)-x(t_a)}{t_b-t_a}.
이것이 평균속도의 정의입니다. 구체적으로 어떤 단위를 사용하든 속도는 언제나 길이를 시간으로 나눈 비율입니다. 11.2절의 표기로는 L/TL/T 단위의 물리량입니다.
토끼의 위치 그래프에서 임의의 두 점을 지나는 직선을 그리면, 그 직선의 기울기가 두 점 사이 시간 구간에서의 평균속도를 나타냅니다. 예를 들어 그림 11.2처럼 t1t_1에서 t2t_2까지 감속하는 동안의 평균속도를 보겠습니다. 직선의 기울기는 Δx/Δt\Delta x/\Delta t입니다. 이 기울기는 α\alpha로 표시한 각도의 탄젠트와도 같지만, 지금은 Δx\Delta x와 Δt\Delta t를 바로 알 수 있으므로 삼각함수를 쓸 필요는 없습니다.
그림 11.2
그림 11.2. 그래프로 평균속도 구하기.
그림 11.1로 돌아가면 t2t_2에서 t3t_3까지 토끼의 평균속도는 음수입니다. 속도가 순변위를 시간으로 나눈 비율로 정의되기 때문입니다. 이는 총 이동거리를 시간으로 나누며 음수가 될 수 없는 평균속력(average speed) 과 다릅니다. 변위와 속도의 부호는 이동 방향에 영향을 받지만, 거리와 속력은 본질적으로 음수가 아닙니다.
이 구분은 훨씬 앞의 2.2절에서 이미 이야기했습니다. t2t_2에서 t3t_3까지는 토끼가 내내 뒤로 갔으니 평균속도가 음수인 것이 당연합니다. 하지만 t2t_2에서 t4t_4까지처럼 구간 일부에서 앞으로 가더라도 평균속도는 음수일 수 있습니다. ‘한 걸음 전진, 두 걸음 후퇴’인 셈입니다.
평균속도는 0일 수도 있습니다. 토끼가 t4t_4부터 t7t_7까지 낮잠을 자는 동안이 그렇습니다. 실제로 물체가 출발한 위치와 도착한 위치가 같으면, 구간 내내 움직였더라도 평균속도는 0입니다! ‘두 걸음 전진, 두 걸음 후퇴’입니다. 그림 11.3은 그런 구간 두 개를 보여줍니다.
그림 11.3
그림 11.3. 토끼의 순변위가 없어 평균속도가 0인 시간 구간 두 개.
물론 우화의 마지막 교훈은 거북이의 평균속도가 토끼보다 크다는 것입니다. 원문은 적어도 거북이가 결승선을 통과할 때까지인 t0t_0에서 t7t_7까지 그렇다고 설명합니다. 토끼는 암토끼에게 한눈을 팔고 앞뒤로 서성여 확실히 더 먼 거리를 움직였으므로 평균 속력 은 더 높았는데도 그렇습니다.
마지막으로 한 가지만 더 짚겠습니다. 토끼가 교훈을 얻고 거북이에게 축하 인사를 했다고 가정하겠습니다. 가엾은 동물에게 모든 나쁜 성격을 다 뒤집어씌우지는 말아 주세요! 그러면 t=t8t=t_8에 둘은 같은 장소에 서 있었습니다. 따라서 t0t_0에서 t8t_8까지의 순변위가 같고, 이 구간의 평균속도도 같습니다.
💡
원문 계산식 점검 · 11.3 경주의 시각
본문 후반에서 거북이의 도착을 t7t_7로 언급하는 부분은 앞의 설명·그림에서 사용하는 t6t_6와 맞지 않습니다. 평균속도를 비교할 때는 언제나 같은 시작 시각과 종료 시각, 그때의 실제 위치를 정해서 계산합니다.

11.4 순간속도와 도함수 (Derivatives)

물리학에서 구간에 걸친 물체의 평균속도를 어떻게 정의하고 측정하는지 살펴보았습니다. 구간이란 두 시각 사이에 유한한 차이 Δt\Delta t가 있는 경우입니다. 하지만 시간값 tt 하나, 즉 단 한 순간에서 물체의 순간속도(instantaneous velocity) 를 이야기하면 유용할 때가 많습니다. 이것이 간단한 질문이 아니라는 것은 다음처럼 익숙한 속도 측정식이 단 한 순간을 생각할 때는 작동하지 않는다는 데서 알 수 있습니다.
평균속도=변위경과시간=ΔxΔt=x(tb)−x(ta)tb−ta.\text{평균속도}=\frac{\text{변위}}{\text{경과시간}} =\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_b)-x(t_a)}{t_b-t_a}.
시간값 하나만 본다면 tat_a와 tbt_b는 무엇일까요? 한 순간에서는 변위와 경과시간이 모두 0입니다. 그러면 Δx/Δt\Delta x/\Delta t라는 비율은 무슨 뜻일까요? 이 절은 미적분의 기본 도구인 도함수(derivative) 를 소개합니다. 뉴턴은 바로 이 장에서 묻고 있는 운동학 질문을 조사하려고 도함수를 발명했습니다.
하지만 도함수는 한 물리량이 다른 물리량의 함수로 변하는 사실상 모든 문제에 적용됩니다. 속도의 경우에는 위치가 시간의 함수로 어떻게 변하는지에 관심이 있습니다.
도함수를 적용할 수 있는 문제가 매우 다양하므로 이를 연구한 사람은 뉴턴만이 아니었습니다. 부피 등을 계산하는 원시적인 적분 응용은 고대 이집트까지 거슬러 올라갑니다. 원문은 그리스인들이 일찍이 5세기에 무한소나 실진법(method of exhaustion)처럼 미적분의 토대가 되는 개념들을 연구했다고 설명합니다. 17세기에 미적분을 발명한 공로는 보통 뉴턴과 독일 수학자 고트프리트 라이프니츠(1646~1716)가 함께 인정받습니다.〔주6〕 하지만 페르시아와 인도의 기록에도 미적분 개념을 사용한 예가 있습니다.
페르마, 파스칼, 데카르트 등 많은 사상가도 중요한 기여를 했습니다.〔주7〕 대부분의 미적분 수업에서는 ‘쉬운’ 미분을 ‘어려운’ 적분보다 먼저 배우는데, 초기 응용 중에는 적분이 많았다는 점이 흥미롭습니다.
우리는 먼저 뉴턴의 발자취를 따라 속도라는 물리적 예에서 출발합니다. 도함수가 어떻게 작동하는지 직관을 얻는 데 가장 좋은 예라고 생각하기 때문입니다. 그다음 물리적인 것에서 더 추상적인 것으로 나아가며 여러 다른 예를 살펴봅니다.

11.4.1 극한 논증과 도함수의 정의

질문으로 돌아가겠습니다. 순간속도는 어떻게 측정할까요? 우선 쉬운 특정 상황을 보겠습니다. 물체가 어떤 구간에서 일정한 속도로 움직이면 그 구간의 모든 순간에서 속도가 같습니다. 그것이 등속도의 정의입니다. 이때 구간의 평균속도는 구간 안 임의의 순간의 순간속도와 같아야 합니다. 그림 11.1 같은 그래프에서는 물체가 등속도로 움직이는지 쉽게 알아볼 수 있습니다.
그래프가 직선이기 때문입니다. 사실 그림 11.1의 거의 모든 부분은 직선 구간으로 이루어져 있습니다.〔주8〕 따라서 직선 구간에서 아무 두 점이나 골라 그 사이 평균속도를 구하면 순간속도도 쉽게 구할 수 있습니다. 양 끝점이 좋은 선택 같지만 어느 두 점이든 괜찮습니다.
그런데 토끼가 과신하여 점차 감속하는 t1t_1에서 t2t_2 사이 구간을 보겠습니다. 이 구간의 위치 그래프는 곡선이므로 기울기, 따라서 토끼의 속도가 계속 변합니다. 이런 상황의 순간속도를 측정하려면 조금 더 세련된 방법이 필요합니다.
예를 구체화하기 위해 숫자를 정하겠습니다. 숫자를 간단하게 하고 경주라는 주제도 유지하려고, 시간을 분으로, 거리를 펄롱으로 재는 엉뚱한 선택을 양해해 주세요.〔주9〕 t1=1 min,t2=3 mint_1=1\,\mathrm{min},t_2=3\,\mathrm{min}으로 두면 총 지속시간은 2분입니다. 이 구간에서 토끼가 x(1)=4 furx(1)=4\,\mathrm{fur}에서 x(3)=8 furx(3)=8\,\mathrm{fur}로 이동한다고 하겠습니다.〔주10〕 설명을 위해 ‘t=2.5 mint=2.5\,\mathrm{min}일 때 토끼의 순간속도는 얼마일까요?’라는 질문을 목표로 삼겠습니다. 그림 11.4에 이 상황을 모두 나타냈습니다.
그림 11.4
그림 11.4. t=2.5 mint=2.5\,\mathrm{min}에서 토끼의 속도는 얼마일까요?
정확히 t=2.5t=2.5인 순간의 속도를 어떻게 측정하거나 계산할지는 바로 떠오르지 않습니다. 하지만 t=2.5t=2.5 근처의 아주 짧은 구간에서 평균속도를 계산하면 좋은 근삿값을 얻을 수 있습니다. 구간이 충분히 짧으면 그래프는 직선 구간과 거의 같고 속도도 거의 일정합니다. 따라서 구간 안 어느 순간의 순간속도든 전체 구간의 평균속도와 크게 다르지 않을 것입니다.
그림 11.5에서는 선분의 왼쪽 끝점을 t=2.5t=2.5에 고정하고 오른쪽 끝점을 점점 가까이 옮깁니다. 구간이 짧아질수록 그래프가 직선에 더 가까워지고 근사도 더 좋아집니다. 그림으로 생각하면 두 번째 끝점이 t=2.5t=2.5에 점점 가까워질수록 두 끝점을 잇는 직선의 기울기는 그 점에서 곡선에 접하는 직선의 기울기로 수렴합니다. 접선(tangent line) 은 바로 한 점에서의 곡선 기울기를 측정하므로, 그래프에서 순간속도에 해당합니다.
그림 11.5
그림 11.5. 점점 짧아지는 구간의 평균속도로 순간속도를 근사하기.
실제 숫자로 실험해서 토끼의 순간속도를 근사할 수 있는지 알아보겠습니다. 그러려면 주어진 시각의 토끼 위치를 알아야 합니다. 이제 토끼의 위치가 다음 함수로 주어진다고 알려줄 때가 되었습니다.〔주11〕
x(t)=−t2+6t−1.x(t)=-t^2+6t-1.
표 11.2는 오른쪽 끝점 t+Δtt+\Delta t를 t=2.5t=2.5에 점점 가깝게 옮기는 구간들에 대해 평균속도를 계산한 것입니다.
표 11.2. 길이가 서로 다른 시간 구간의 평균속도 계산
tt
Δt\Delta t
t+Δtt+\Delta t
x(t)x(t)
x(t+Δt)x(t+\Delta t)
x(t+Δt)−x(t)x(t+\Delta t)-x(t)
[x(t+Δt)−x(t)]/Δt[x(t+\Delta t)-x(t)]/\Delta t
2.500
0.500
3.000
7.750
8.0000
0.2500
0.5000
2.500
0.100
2.600
7.750
7.8400
0.0900
0.9000
2.500
0.050
2.550
7.750
7.7975
0.0475
0.9500
2.500
0.010
2.510
7.750
7.7599
0.0099
0.9900
2.500
0.005
2.505
7.750
7.7549
0.0049
0.9950
2.500
0.001
2.501
7.750
7.7509
0.0009
0.9990
평균속도를 나타내는 맨 오른쪽 열은 분당 1펄롱으로 수렴하는 것처럼 보입니다. 하지만 이것이 올바른 값이라는 사실을 얼마나 확신할 수 있을까요? 정확히 분당 1펄롱을 결과로 내놓는 계산은 아직 없지만, 실용적으로는 이 근사 기법에서 Δt\Delta t를 충분히 작게 선택해 원하는 만큼 정확도를 높일 수 있습니다. 여기서는 컴퓨터의 부동소수점 표현 정밀도와 관련된 문제를 무시합니다.
이것은 강력한 논증입니다. 직접 계산할 수 없는 식에 사실상 값을 부여한 셈입니다. 식에 Δt=0\Delta t=0을 대입하는 것은 수학적으로 허용되지 않지만, Δt\Delta t가 점점 작아질수록 특정 값으로 수렴한다고 논증할 수 있습니다. 미적분 용어로 분당 1펄롱이라는 값은 극한값(limiting value) 입니다. 이 예에서 Δt\Delta t의 양수 값을 점점 작게 취하면 계산 결과는 1에 가까워지지만 이를 넘어가거나 정확히 도달하지는 않는다는 뜻입니다.
미적분에서는 이런 수렴 논증을 극한(limit) 이라는 형식화된 도구로 엄밀하게 정의합니다. 수학 표기는 다음과 같습니다.
v(t)=lim⁡Δt→0x(t+Δt)−x(t)Δt.(11.2)v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.\tag{11.2}
기호 →\to는 보통 ‘다가간다’, ‘향한다’라고 읽습니다. 따라서 식 (11.2)의 오른쪽은 다음처럼 읽을 수 있습니다.
“Δt\Delta t가 0으로 다가갈 때 x(t+Δt)−x(t)Δt\dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}의 극한.”
또는 어순을 바꾸어 다음처럼 읽어도 됩니다.
“x(t+Δt)−x(t)Δt\dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}에서 Δt\Delta t가 0으로 다가갈 때의 극한.”
일반적으로 lim⁡a→k[어떤 식]\lim_{a\to k}[\text{어떤 식}]은 ‘aa가 kk에 점점 가까워질 때 그 식이 수렴하는 값’이라는 뜻입니다. 이는 순간속도의 의미를 정의하므로 중요한 개념입니다.
주어진 시각 tt의 순간속도는, tt를 포함하는 구간의 길이를 0으로 보내는 극한에서 그 구간의 평균속도로 해석할 수 있습니다.
극한의 모든 능력을 탐구하거나 세밀한 사항에 깊이 빠질 필요는 별로 없습니다. 그것은 수학의 해석학 분야이며, 현재의 꽤 제한된〔주12〕 목표에서 벗어나게 됩니다. 몇 가지 중요한 세부사항을 생략하고〔주13〕, 극한으로 도함수를 정의하는 특정한 경우 하나에 집중하겠습니다.
도함수는 함수의 변화율(rate of change) 을 측정합니다. ‘함수’란 입력을 받아 출력을 내는 어떤 공식·계산·절차를 멋지게 부르는 말일 뿐이라는 점을 기억하겠습니다. 도함수는 입력이 변할 때 출력이 얼마나 빠르게 변하는지 수량화합니다. 특정 시각 tt의 함수값이 xx라면, 그 함수의 tt에서의 도함수는 dx/dtdx/dt입니다.
기호 dtdt로 나타낸 아주 작은 입력 변화가 만들어내는 출력의 변화를 dxdx로 나타냅니다. 이 ‘작은 변화’는 곧 더 자세히 이야기하겠습니다.
지금 우리는 토끼와 거북이가 경주하고 비유를 통해 도덕적 교훈을 가르치는 상상의 경주장에 있습니다. 함수의 입력 tt는 경주 시작 후 경과한 분 수이며, 출력 xx는 트랙을 따라 잰 토끼의 위치입니다. 함수를 계산하는 규칙은 x(t)=−t2+6t−1x(t)=-t^2+6t-1입니다.
이 함수의 도함수는 시간에 대한 토끼 위치의 변화율을 알려주며, 이것이 순간속도의 정의입니다. 앞에서는 점점 짧아지는 구간의 평균속도로 순간속도를 정의했습니다. 본질적으로 도함수의 정의와 같고, 처음에는 위치와 속도에 특화된 말로 표현했을 뿐입니다.
도함수를 계산한 결과는 숫자 하나가 아닙니다. “토끼의 속도는 얼마일까요?”라는 질문의 답이 숫자 하나이기를 기대하려면 속도가 모든 순간에 같아야 합니다. 그런 단순한 경우에는 도함수가 필요 없고 평균속도를 쓰면 됩니다. 흥미로운 것은 속도가 시간에 따라 달라질 때입니다. 그런 위치 함수를 미분하면 속도 함수 를 얻으며, 이 함수로 어느 시각에서든 순간속도를 계산할 수 있습니다.
앞의 세 문단은 이 절에서 가장 중요한 개념을 표현하므로 다시 말해 보겠습니다.
도함수는 변화율을 측정합니다. 속도는 시간에 대한 위치의 변화율이므로, 위치 함수의 도함수가 속도 함수입니다.
다음 소절들에서는 도함수의 수학을 조금 더 자세히 다루고, 11.5절에서 운동학으로 돌아옵니다. 이 내용은 대학 1학년 미적분을 배우지 않은〔주14〕 독자를 위한 것입니다. 미적분 배경이 있고 복습이 필요하지 않다면 11.5절로 건너뛰어도 됩니다.
11.4.2절에서는 변화율을 측정한다는 뜻을 더 잘 이해하고 도함수의 응용 범위가 매우 넓다는 주장을 뒷받침하기 위해 여러 예를 제시합니다. 11.4.3절에서는 도함수의 공식적인 수학적 정의〔주15〕와 그 정의로 문제를 푸는 방법을 보여줍니다. 마침내 t=2.5t=2.5에서 토끼가 얼마나 빠르게 움직였는지도 알아냅니다. 11.4.4절에서는 흔히 쓰는 다른 미분 표기들을 소개합니다. 마지막으로 11.4.5절에서는 이 책의 아주 소박한 미분 요구를 충족할 만큼만 미분 규칙을 제시합니다.
〔주6〕 Ian Parberry는 이 문제로 갈등합니다. 영국인이므로 뉴턴 편을 들어야 할 것 같지만, 박사 지도교수의 지도교수의……지도교수를 14세대 거슬러 올라가면 라이프니츠이므로 일종의 ‘가족적’ 의리를 지켜야 할 것 같기도 합니다.
〔주7〕 파스칼과 데카르트는 Ian Parberry와 박사 지도교수 계보상 16세대를 거슬러 올라간 ‘사촌’이지만, 그래도 데카르트를 생각하면 몬티 파이선의 「철학자의 노래」가 떠오르는 것은 어쩔 수 없습니다.
〔주8〕 대체로 게으른 저자들이 포토샵에서 만들기 가장 쉬웠기 때문입니다.
〔주9〕 토끼의 속도는 어느 정도 현실과 비슷하게 정했지만, 교육 목적과 그림 11.1이 페이지에 잘 들어가게 하려는 이유로 거북이의 속도는 완전히 조작했습니다. 까다로운 독자는 이 이야기에 말하는 토끼와 거북이가 나온다는 사실을 기억해 주세요. 아, 펄롱은 1/8마일입니다.
〔주10〕 약어 fur는 furlong을 뜻하며 토끼의 털(fur)과는 아무 관계가 없습니다.
〔주11〕 토끼의 움직임을 정수 계수의 이차방정식으로 나타낸 것이 잘 짜 맞춘 설정처럼 보일 수 있지만, 나중에 보면 생각만큼 억지스럽지는 않습니다. 자연은 이차방정식을 좋아하는 모양입니다. 다만 정수 계수는 인정합니다. 우리가 보기 좋게 골랐습니다.
〔주12〕 영어 limited와 limit를 연결하는 말장난을 의도한 것은 아닙니다. 유감스럽게도.
〔주13〕 연속성, 왼쪽에서 취한 극한, 오른쪽에서 취한 극한 같은 것들입니다.
〔주14〕 저자들이 말하는 ‘배웠다’는 것은 합격했고, 이해했으며, 지금도 기억한다는 뜻입니다.
〔주15〕 미리 결말을 말하자면, 이 절에서 이미 알려주었습니다!
💡
위치·속도·가속도를 한 화면에서 보기
아래 실험에서 처음 위치는 0입니다. 초기속도와 가속도, 시간을 바꾸면 파란 위치 그래프와 그 순간의 주황색 접선이 함께 변합니다. 화면의 위치, 속도, 가속도 값은 다음 식으로 계산합니다.
x(t)=v0t+12at2,v(t)=v0+at.x(t)=v_0t+\tfrac12at^2,\qquad v(t)=v_0+at.
먼저 초기속도를 3, 가속도를 0으로 두면 위치 그래프는 직선입니다. 시간을 바꾸어도 접선의 기울기가 3으로 같습니다. 다음에는 초기속도를 3, 가속도를 −1로 두겠습니다. 3초에 접선이 수평이 되어 속도가 0이 됩니다. 그 뒤에는 그래프가 내려가며 속도가 음수가 됩니다. 위치가 양수인 것과 양의 방향으로 움직이는 것은 서로 다른 정보입니다. 오른쪽에 있던 캐릭터가 왼쪽으로 돌아올 수 있습니다.
위치 그래프의 기울기를 읽으면 속도이고, 속도 그래프 아래의 부호 있는 넓이를 읽으면 변위입니다. 예를 들어 초기속도 3 m/s, 가속도 −1 m/s²로 4초 동안 움직이면 변위는 3×4−12×42=4 m3\times4-\frac12\times4^2=4\,\mathrm m입니다. 3초까지 4.5 m 전진한 다음 0.5 m 돌아왔으므로 총 이동거리는 5 m입니다. 위치 변화 4 m와 이동거리 5 m를 구분하는 것이 평균속도와 평균속력의 차이를 이해하는 출발점입니다.
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원문 계산식 점검 · 표 11.2 마지막 두 행
x(2.505)=7.754975x(2.505)=7.754975이고 변화량은 0.004975입니다. x(2.501)=7.750999x(2.501)=7.750999이고 변화량은 0.000999입니다. 표의 중간 열은 자릿수를 줄여 표시했지만 마지막 열의 0.995, 0.999는 이 정확한 값으로 계산한 결과입니다. 표시된 중간 값만 다시 나누면 마지막 열과 달라집니다.

11.4.2 도함수의 예

속도는 도함수를 소개하는 가장 쉬운 예일지 모르지만 유일한 예는 결코 아닙니다. 도함수가 얼마나 다양한 문제에 적용되는지 느낄 수 있도록 다른 예도 보겠습니다.
가장 단순한 예는 시간에 따라 변하는 다른 물리량입니다. 예를 들어 R(t)R(t)가 시각 tt의 우량계 눈금이라면, R′(t)R'(t)로 표시하는 도함수는 그 시각에 비가 얼마나 세게 내렸는지 나타냅니다. 어떤 기체가 들어 있는 탱크의 압력계 눈금이 P(t)P(t)일 수도 있습니다.
압력계 눈금이 용기 속 기체 질량에 비례한다고 가정하면〔주16〕 변화율 P′(t)P'(t)는 시각 tt에 기체가 얼마나 빠르게 들어오거나 나가는지 나타냅니다.
독립변수가 시간이 아닌 물리적 예도 있습니다. 전형적인 예는 수평 위치 xx에서 어떤 표면의 기준점 대비 높이를 주는 함수 y(x)y(x)입니다. 앞의 비유 속 경주장에서 xx가 트랙을 따른 거리이고 yy가 그 지점의 높이를 출발점 고도보다 얼마나 높거나 낮은지 나타낸다고 하겠습니다.
도함수 y′(x)y'(x)는 위치 xx에서의 표면 기울기입니다. 양수면 오르막, 음수면 내리막 구간입니다. 사실 이것은 완전히 새로운 예는 아닙니다. 이미 함수 그래프를 보며 도함수가 2차원 그래프의 기울기를 측정한다고 생각했기 때문입니다.
이번에는 독립변수에 물리적 차원을 유지하되 조금 더 추상적으로 가 보겠습니다. 인기 있는 인공 암벽에서 주어진 높이 yy 이상에 도달하는 등반자 비율을 기술하는 함수 S(y)S(y)를 알고 있다고 하겠습니다. 등반자가 y=0y=0에서 출발하면 S(0)=100%S(0)=100\%입니다. 분명히 S(y)S(y)는 증가하지 않는 함수이며, 아무도 도달하지 못한 어떤 최대 높이 ymax⁡y_{\max}에서는 결국 0%로 내려갑니다.
도함수 S′(y)S'(y)는 어떻게 해석할까요? S(y)S(y)가 증가하지 않으므로 당연히 S′(y)≤0S'(y)\le0입니다. S′(y)S'(y)가 큰 음수이면 높이 yy 부근에서 많은 등반자가 탈락한다는〔주17〕 뜻입니다. 그 높이에 어려운 구간이 있을 수도 있습니다. S′(y)S'(y)가 0에 가까우면 그 높이에서 탈락하는 사람이 적다는 뜻입니다.
등반자가 도달해서 쉴 수 있는 평평한 발판이 있을 수도 있습니다. 원문은 휴식 뒤에는 등반자가 더 원기를 회복하므로 발판 바로 뒤에서 S′(y)S'(y)가 감소할 것이라고 표현합니다. 사실 발판에 도달하기 직전에도 S′(y)S'(y)가 0에 가까워질 수 있습니다. 이런 이정표에 가까워지면 조금 더 힘을 내고 포기하기를 덜 원하기 때문입니다.〔주18〕
마지막 예를 하나 보겠습니다. 그림 11.6은 급여의 함수로 나타낸 행복입니다. 이 경우 도함수는 경제학자가 ‘한계효용(marginal utility)’이라고 부르는 것과 본질적으로 같습니다. 추가 소득 한 단위당 늘어나는 행복의 비율입니다. 이 그림에 따르면 소득의 한계효용은 감소합니다.
물론 유명한 수확체감의 법칙입니다. 우리의 ‘연구’〔주19〕에 따르면 어느 지점을 지나면 고소득에 따르는 문제가 심리적 이득보다 커져 심지어 음수가 됩니다. 경제학 표현인 ‘음의 한계효용’을 일상어로 옮기면 “그만해”라는 뜻입니다.
그림 11.6
그림 11.6. 급여에 따른 행복.
〔주16〕 이상기체 법칙이 유효한 근사인 범위에서 작동하며 온도가 일정하면 그렇습니다.
〔주17〕 영어 drop out을 사용한 말장난입니다. 글자 그대로 떨어진다는 뜻은 아닙니다.
〔주18〕 눈썰미 있는 독자라면 표본 등반자 수가 유한하므로 S(y)S(y)가 표본 데이터에서 나오며, 매끈한 선 대신 불연속적인 ‘계단’을 갖는다는 것을 알아챘을 것입니다. 그 계단에서는 도함수가 실제로 정의되지 않습니다. 설명을 위해 실험 데이터에 매끈한 곡선을 맞춰 연속 함수를 얻었다고 가정하겠습니다.
〔주19〕 그 단어를 쓰면서 손가락으로 공중에 따옴표를 그렸습니다.
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원문 계산식 점검 · 11.4.2 등반대 예의 부호
남은 사람 수 SS의 도함수 S′S'는 탈락 때문에 음수입니다. 휴식 뒤 탈락이 줄면 S′S'의 절댓값이 작아져 0에 가까워집니다. 수학적인 값으로는 증가합니다. ‘탈락률이 감소한다’와 ‘S′S'가 감소한다’를 구분하겠습니다.

11.4.3 정의로부터 도함수 계산하기

이제 대부분의 수학 교과서에 나오는 도함수의 공식적인〔주20〕 정의를 보고, 그 정의로 도함수를 계산할 준비가 되었습니다. 도함수는 출력 변화량을 입력 변화량으로 나눈 Δx/Δt\Delta x/\Delta t에서 Δt\Delta t를 무한히 작게 할 때의 극한값으로 이해할 수 있습니다. 이 설명을 수학 표기로 다시 쓰겠습니다. 앞에서 이미 제시한 식이지만, 이번에는 큰 상자에 넣겠습니다. 수학책은 정의인 방정식에 그렇게 하기 때문입니다.
도함수의 정의
dxdt=lim⁡Δt→0ΔxΔt=lim⁡Δt→0x(t+Δt)−x(t)Δt.(11.3)\frac{dx}{dt}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta x}{\Delta t} =\lim_{\Delta t\to0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.\tag{11.3}
여기서 도함수를 나타내는 dx/dtdx/dt를 라이프니츠 표기(Leibniz’s notation) 라고 합니다. 기호 dxdx와 dtdt는 무한소(infinitesimals) 라고 부릅니다. 유한한 값의 변화를 나타내는 변수 Δx,Δt\Delta x,\Delta t와 달리 dx,dtdx,dt는 ‘무한히 작은 변화’를 나타내는 기호입니다.
아주 작은 변화량을 사용하는 것이 왜 중요할까요? 왜 그냥 Δx/Δt\Delta x/\Delta t를 직접 계산하면 안 될까요? 변화율이 계속 바뀌기 때문입니다. Δt=0.0001\Delta t=0.0001이라는 매우 작은 구간 안에서도 일정하지 않습니다. 그래서 극한 논증을 통해 구간을 가능한 한 작게, 무한소만큼 작게 만드는 것입니다.
어떤 상황에서는 무한소를 대수적 변수처럼 조작할 수 있습니다. 측정 단위를 붙여 차원 분석으로 계산을 검토할 수도 있습니다. 이런 조작이 자주 올바른 결과를 낸다는 사실이 라이프니츠 표기의 직관적인 매력입니다. 하지만 무한히 작은 값이므로 기호 ∞\infty와 마찬가지로 특별하게 다루어야 하며 함부로 이리저리 옮겨서는 안 됩니다.
대부분은 dx/dtdx/dt를 두 변수의 비가 아니라 ‘tt에 대한 xx의 도함수’를 뜻하는 하나의 기호로 해석합니다. 이것이 가장 안전하며 앞서 말한 제멋대로 조작할 위험을 피합니다. 라이프니츠 표기와 다른 표기에 대해서는 뒤에서 더 이야기하겠지만, 먼저 드디어 도함수를 계산해서 궁금했던 질문에 답하겠습니다.
t=2.5t=2.5에서 토끼는 얼마나 빠르게 움직였을까요?
식 (11.3)의 정의로 간단한 함수를 미분하는 것은 중요한 통과의례입니다. 이 문턱을 넘는 일을 돕게 되어 뿌듯합니다. 일반적인 절차는 다음과 같습니다.
1.
정의에 x(t)x(t)와 x(t+Δt)x(t+\Delta t)를 대입합니다. 우리 예에서는 x(t)=−t2+6t−1x(t)=-t^2+6t-1입니다.
2.
Δt=0\Delta t=0을 대입해도 되도록 대수적으로 정리합니다. 보통은 분모에서 Δt\Delta t를 없애는 작업입니다.
3.
Δt=0\Delta t=0을 대입해 ‘극한에서’ 식을 계산하고 극한 기호를 없앱니다.
4.
결과를 간단히 정리합니다.
우리 예에 이 절차를 적용하면 다음과 같습니다.
v(t)=dxdt=lim⁡Δt→0x(t+Δt)−x(t)Δt=lim⁡Δt→0[−(t+Δt)2+6(t+Δt)−1]−(−t2+6t−1)Δt=lim⁡Δt→0(−t2−2t(Δt)−(Δt)2+6t+6(Δt)−1)+(t2−6t+1)Δt=lim⁡Δt→0−2t(Δt)−(Δt)2+6(Δt)Δt=lim⁡Δt→0Δt(−2t−Δt+6)Δt=lim⁡Δt→0(−2t−Δt+6).(11.4)\begin{aligned} v(t)=\frac{dx}{dt} &=\lim_{\Delta t\to0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}\\ &=\lim_{\Delta t\to0}\frac{[-(t+\Delta t)^2+6(t+\Delta t)-1]-(-t^2+6t-1)}{\Delta t}\\ &=\lim_{\Delta t\to0}\frac{(-t^2-2t(\Delta t)-(\Delta t)^2+6t+6(\Delta t)-1)+(t^2-6t+1)}{\Delta t}\\ &=\lim_{\Delta t\to0}\frac{-2t(\Delta t)-(\Delta t)^2+6(\Delta t)}{\Delta t}\\ &=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta t(-2t-\Delta t+6)}{\Delta t}\\ &=\lim_{\Delta t\to0}(-2t-\Delta t+6). \end{aligned}\tag{11.4}
이제 3단계입니다. 식 (11.4)의 극한은 쉽게 구할 수 있습니다. Δt=0\Delta t=0을 대입하기만 하면 됩니다. 앞에서는 분모에 Δt\Delta t가 있었으므로 이 대입이 허용되지 않았습니다.
v(t)=dxdt=lim⁡Δt→0(−2t−Δt+6)=−2t−(0)+6=−2t+6.(11.5)\begin{aligned} v(t)=\frac{dx}{dt}&=\lim_{\Delta t\to0}(-2t-\Delta t+6)\\ &=-2t-(0)+6\\ &=-2t+6. \end{aligned}\tag{11.5}
마침내! 식 (11.5)가 찾던 속도 함수입니다. 여기에 임의의 tt값을 넣으면 그 시각의 토끼 순간속도를 계산할 수 있습니다. t=2.5t=2.5를 대입하면 질문의 답을 얻습니다.
v(t)=−2t+6,v(2.5)=−2(2.5)+6=1.v(t)=-2t+6,\qquad v(2.5)=-2(2.5)+6=1.
따라서 t=2.5t=2.5에서 토끼의 순간속도는 앞의 논증이 예측한 대로 정확히 분당 1펄롱이었습니다. 이제는 자신 있게 말할 수 있습니다.
그림 11.7은 우리가 살펴본 구간의 이 점과 다른 몇 점을 보여줍니다. 각 점에서 식 (11.5)로 순간속도를 계산하고 같은 기울기의 접선을 그렸습니다.
v(2.0)=−2(2.0)+6=2.0,v(2.4)=−2(2.4)+6=1.2,v(2.5)=−2(2.5)+6=1.0,v(2.6)=−2(2.6)+6=0.8,v(3.0)=−2(3.0)+6=0.0.\begin{aligned} v(2.0)&=-2(2.0)+6=2.0,\\ v(2.4)&=-2(2.4)+6=1.2,\\ v(2.5)&=-2(2.5)+6=1.0,\\ v(2.6)&=-2(2.6)+6=0.8,\\ v(3.0)&=-2(3.0)+6=0.0. \end{aligned}
그림 11.7 — 패널 1/5
그림 11.7 — 패널 2/5
그림 11.7 — 패널 3/5
그림 11.7 — 패널 4/5
그림 11.7 — 패널 5/5
그림 11.7. 선택한 시각들에서 토끼의 속도와 대응하는 접선.
위치 그래프와 속도 그래프를 나란히 비교하면 많은 것을 배울 수 있습니다. 그림 11.8은 우화 속 두 주자의 위치와 속도를 비교합니다.
그림 11.8
그림 11.8. 위치와 속도 비교.
그림 11.8에서는 흥미로운 점들을 여럿 관찰할 수 있습니다.
•
위치 그래프가 수평선이면 속도는 0이며, 속도 그래프는 수평축 v=0v=0을 따릅니다. 토끼가 낮잠을 잘 때가 그 예입니다.
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위치가 증가하면 속도는 양수이고, 위치가 감소하면, 즉 토끼가 잘못된 방향으로 움직이면 속도는 음수입니다.
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위치 그래프가 직선이면 속도는 일정하며 속도 그래프에서는 수평선으로 나타납니다.
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위치 그래프가 곡선이면 속도가 계속 변하므로 속도 그래프는 수평선이 아닙니다. 이 예에서는 마침 속도 그래프가 직선이지만, 나중에는 속도 그래프도 곡선인 상황을 살펴봅니다.
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위치 함수가 ‘모서리’에서 갑자기 기울기를 바꾸면 속도 그래프에는 불연속이 나타납니다. 사실 이런 점에서는 도함수가 존재하지 않아 그 순간의 순간속도를 정의할 수 없습니다. 다행히 이런 상황은 비물리적입니다. 현실에서 물체가 속도를 순간적으로 바꾸는 것은 불가능합니다. 속도의 변화는 언제나 짧을 수는 있어도 유한한 시간 동안 가속을 거쳐 일어납니다.〔주21〕 뒤에서는 짧은 시간에 일어나는 이런 빠른 가속을 충격량으로 근사하는 경우를 보입니다.
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위치 그래프의 대응 구간은 서로 다른데 속도 그래프에는 똑같이 생긴 구간이 있습니다. 도함수가 변수의 변화율만 측정하기 때문입니다. 함수 자체의 값이 얼마인지는 상관없습니다. 함수에 상수를 더해 그래프를 수직 이동해도 도함수는 변하지 않습니다. 도함수와 적분의 관계를 이야기할 때 더 설명하겠습니다.
이쯤에서 우리의 도함수 설명이 대부분의 미적분 교과서와 어떻게 다른지 인정해야겠습니다. 우리는 순간속도라는 특정 예 하나에 집중했습니다. 그래서 표기법 같은 겉모습의 차이도 생겼습니다. 하지만 많은 세부사항도 생략했습니다. 예를 들어 연속 함수를 정의하지 않았고, 언제 도함수가 정의되며 언제 정의되지 않는지 엄밀한 정의도 주지 않았습니다.
극한의 개념은 설명했지만 정식 정의, 좌우에서 접근하는 극한, 잘 정의된 극한이 존재하는 조건은 다루지 않았습니다. 우리는 잠깐 독자에게 ‘거짓말’을 하더라도 가장 직관적인 예로 시작하는 것이 언제나 최선의 교육 방법이라고 생각합니다. 미적분 교과서를 쓰고 있었다면 이 지점에서 돌아가 더 정확한 정의와 세부사항을 설명하며 거짓말 일부를 바로잡았을 것입니다.
하지만 이 책은 미적분 교과서가 아닙니다. 따라서 위 설명이 큰 그림은 보여주지만, 함수가 무한대로 발산하거나 ‘점프’하거나 ‘틈’을 갖는 등 이상한 행동을 보이는 많은 경계 사례까지 다루기에는 충분하지 않다는 점만 알리겠습니다. 다행히 물리 현상을 모델링하는 함수에서는 이런 경계 사례가 그리 자주 생기지 않으므로 여기서 다룰 물리 문맥에서는 문제가 되지 않을 것입니다.
다만 독자가 마주칠 법한 다른 미분 표기법을 언급할 공간은 있습니다.
〔주20〕 ‘공식적인’이라는 표현을 쓴 이유는, 컴퓨터로 도함수를 수치적으로 근사할 때 더 좋은 방법으로 이어지는 다른 정의 방식들도 있기 때문입니다. 해석적 해를 구하기 너무 어렵거나 계산이 너무 느릴 때 그런 방법들이 유용합니다.
〔주21〕 미분이 수학적으로 정의되지 않는 불연속점에 수직선을 그렸다고 항의하는 엄밀한 독자들에게 드리는 공학적 답변은, 이런 상황에서 수학식은 실제 물리 상황의 모델일 뿐이라는 것입니다.

11.4.4 도함수의 표기법

도함수에는 널리 쓰이는 표기법이 여러 가지 있습니다. 다른 책이 여기의 설명과 다르게 보일 수 있는 점들을 짚어 보겠습니다. 우선 단순한 이름의 문제가 있습니다. 대부분의 미적분 교과서는 도함수를 아주 일반적으로 정의합니다. 출력 변수의 이름을 yy로 하고, xx는 출력이 아닌 입력 변수이며, 함수 이름은 단순히 ff입니다.
즉 미분하려는 함수는 y=f(x)y=f(x)입니다. 또한 줄어드는 ‘증분’을 Δ\Delta 표기 대신 변수 hh로 나타내는 경우가 많습니다. 이는 정의에서 도함수를 유도할 때 나오는 방정식을 풀기에 유리합니다.〔주22〕 이 변수들로는 도함수를 다음처럼 정의합니다.
대부분의 미적분 교과서에서 쓰는 변수로 나타낸 도함수의 정의
dydx=lim⁡h→0y(x+h)−y(x)h.(11.6)\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}h.\tag{11.6}
식 (11.3)과 식 (11.6)의 차이는 분명히 겉모습뿐입니다.
이 책에서 선호하는 라이프니츠 표기의 변형은 식 앞에 d/dtd/dt를 붙여 ‘오른쪽 식을 tt에 대해 미분한다’고 나타내는 것입니다. 예를 들어 다음 식은 ‘t2+5tt^2+5t의 tt에 대한 도함수’라고 읽을 수 있습니다.
ddt(t2+5t).\frac d{dt}(t^2+5t).
설명적이고 직관적인 표기입니다. 오른쪽 식을 xx라고 부르고 기호를 나란히 쓴 것을 곱셈으로 해석하면, xx를 다시 분수 위로 끌어올려 원래 표기처럼 만들 수 있습니다.
ddt(t2+5t)=ddtx=dxdt.\frac d{dt}(t^2+5t)=\frac d{dt}x=\frac{dx}{dt}.
이 조작은 실제 수학적 의미가 있는 연산이 아니라 표기상의 조작으로 이해해야 합니다. 무한소에 이런 대수적 조작을 하면 잘 맞아떨어지는 경우가 많아서 매력적인 표기지만, 그런 연산에 너무 큰 수학적 의미를 부여하지 말라는 경고를 다시 강조합니다.
또 다른 흔한 표기는 함수 f(x)f(x)의 도함수를 프라임 기호를 붙여 f′(x)f'(x)로 나타내는 것입니다. 프라임 표기(prime notation) 또는 라그랑주 표기(Lagrange’s notation) 라고 부릅니다. 무엇에 대해 미분하는지가 문맥에서 암시되거나 이해될 때 사용합니다. 이 표기로는 위치 함수의 도함수인 속도를 v(t)=x′(t)v(t)=x'(t)로 정의합니다.
마지막 표기는 뉴턴이 발명한 점 표기(dot notation)입니다. 뉴턴이 만든 물리 방정식처럼 독립변수가 시간일 때 주로 씁니다. 변수 위에 점을 붙여 도함수를 표시합니다. 예를 들어 v(t)=x˙(t)v(t)=\dot x(t)입니다.
속도와 위치를 예로 여러 미분 표기를 정리하면 다음과 같습니다.
v(t)=dxdt=ddtx(t)=x′(t)=x˙(t).v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac d{dt}x(t)=x'(t)=\dot x(t).
〔주22〕 혼동할 수 있는 Δt2\Delta t^2를 피하려고 (Δt)2(\Delta t)^2에 괄호를 붙여야 했던 번거로움을 생각해 보겠습니다.

11.4.5 몇 가지 미분 규칙과 지름길

다시 도함수 계산으로 돌아오겠습니다. 실제로는 식을 미분할 때마다 정의로 되돌아갈 필요가 거의 없습니다. 복잡한 함수를 더 작은 조각으로 나누어 미분할 수 있게 해 주는 간단한 규칙들이 있기 때문입니다. ln⁡x\ln x나 tan⁡x\tan x 같은 특별한 함수들은 정의를 적용하는 어려운 작업이 이미 끝나 있고, 그 결과가 미적분 책의 앞뒤 표지 안쪽을 채운 표에 적혀 있습니다.
이런 함수가 들어 있는 식은 표를 참고해 미분하면 됩니다. 다만 사인과 코사인에서는 그 ‘어려운 작업’을 우리도 조금 해 볼 것입니다.
이 책에서 관심 있는 함수는 아주 적고, 다행히 몇 가지 간단한 규칙만으로 미분할 수 있습니다. 아쉽게도 규칙들의 수학적 유도를 전개할 공간은 없습니다. 따라서 각 규칙이 어떻게 쓰이는지 짧게 설명하고, 왜 맞는지 납득하도록 돕는 수학적으로는 엄밀하지 않은 직관적 논증을 곁들이겠습니다.
첫 번째는 상수 규칙(constant rule) 입니다. 상수 함수의 도함수는 0이라는 뜻입니다. 상수 함수는 언제나 같은 값을 출력합니다. 예를 들어 x(t)=3x(t)=3이 그렇습니다. 어떤 tt를 넣어도 출력은 3입니다. 도함수는 입력 tt가 변할 때 출력이 얼마나 빠르게 변하는지 측정하는데, 상수 함수의 출력은 전혀 변하지 않습니다. 따라서 x′(t)=0x'(t)=0입니다.
상수 규칙
ddtk=0,k는 임의의 상수.\frac d{dt}k=0,\qquad k\text{는 임의의 상수}.
다음 규칙은 때때로 합의 규칙(sum rule) 이라고 하며, 미분이 선형 연산자라는 뜻입니다. ‘선형’의 의미는 5장의 정의와 본질적으로 같지만 미분의 문맥에서 다시 보겠습니다. 미분이 선형 연산자라는 말에는 두 가지 뜻이 있습니다. 첫째, 합을 미분하려면 각 부분을 따로 미분한 다음 결과를 더하면 됩니다.
직관적입니다. 합의 변화율은 각 부분의 변화율을 모두 더한 것이기 때문입니다. 예를 들어 기차 안에서 움직이는 사람을 생각하겠습니다. 월드 공간의 위치는 기차의 위치와 기차의 물체 공간에서의 사람 위치를 더해 나타낼 수 있습니다.〔주23〕 마찬가지로 지면에 대한 사람의 속도는 지면에 대한 기차 속도와 기차에 대한 사람 속도의 합입니다.
합의 도함수
ddt[f(t)+g(t)]=ddtf(t)+ddtg(t).(11.7)\frac d{dt}[f(t)+g(t)]=\frac d{dt}f(t)+\frac d{dt}g(t).\tag{11.7}
선형성의 두 번째 성질은 함수에 상수를 곱하면 도함수도 같은 상수만큼 배율이 바뀐다는 것입니다. 왜 그래야 하는지 쉽게 확인하려면 단위 변환을 생각하면 됩니다. 시간에 따른 토끼의 변위를 펄롱으로 주는, 우리가 좋아하는 함수로 돌아가겠습니다. 이를 시간에 대해 미분하면 분당 펄롱 단위의 속도가 나옵니다.
누군가 펄롱이 싫다고 하면 원래 위치 함수에 201.168을 곱해 미터로 바꿀 수 있습니다. 도함수에도 같은 배율이 적용되어야 합니다. 그렇지 않으면 단위만 바꾸었는데 토끼의 실제 속도가 갑자기 달라질 것입니다.
상수를 곱한 함수의 도함수
ddt[kf(t)]=k[ddtf(t)],k는 임의의 상수.(11.8)\frac d{dt}[kf(t)]=k\left[\frac d{dt}f(t)\right],\qquad k\text{는 임의의 상수}.\tag{11.8}
식 (11.7)과 식 (11.8)을 합하면 선형성 규칙을 더 일반적으로 표현할 수 있습니다.
합의 규칙
ddt[af(t)+bg(t)]=a[ddtf(t)]+b[ddtg(t)].\frac d{dt}[af(t)+bg(t)] =a\left[\frac d{dt}f(t)\right]+b\left[\frac d{dt}g(t)\right].
미분의 선형성은 많은 흔한 함수를 더 작고 쉬운 조각으로 나눌 수 있게 하므로 매우 중요합니다.
미분해야 하는 가장 중요하고 흔한 함수 중 하나는 마침 가장 쉬운 함수이기도 합니다. 바로 다항식입니다. 선형성을 사용하면 예를 들어 4차 다항식을 쉽게 나눌 수 있습니다.
x(t)=c4t4+c3t3+c2t2+c1t+c0,dxdt=ddt[c4t4+c3t3+c2t2+c1t+c0]=c4[ddtt4]+c3[ddtt3]+c2[ddtt2]+c1[ddtt]+[ddtc0].(11.9)\begin{aligned} x(t)&=c_4t^4+c_3t^3+c_2t^2+c_1t+c_0,\\ \frac{dx}{dt}&=\frac d{dt}[c_4t^4+c_3t^3+c_2t^2+c_1t+c_0]\\ &=c_4\left[\frac d{dt}t^4\right]+c_3\left[\frac d{dt}t^3\right] +c_2\left[\frac d{dt}t^2\right]+c_1\left[\frac d{dt}t\right] +\left[\frac d{dt}c_0\right]. \end{aligned}\tag{11.9}
마지막 도함수 ddtc0\frac d{dt}c_0는 c0c_0가 변하지 않으므로 상수 규칙에 따라 0입니다. 그러면 간단한 도함수 네 개만 남으며, 각각 식 (11.3)의 정의에 큰 어려움 없이 대입할 수 있습니다. 이 네 개를 따로 푸는 편이 원래 다항식 전체를 식 (11.3)에 대입하는 것보다 훨씬 쉽습니다.
대학 1학년 미적분 학생이라면 누구나 해 보듯이 직접 계산하면 두 가지를 발견합니다. 첫째, tt의 거듭제곱 차수가 커질수록 대수 계산이 지루해집니다. 둘째, 거듭제곱 규칙(power rule) 이라는 아주 분명한 패턴이 나타납니다.
거듭제곱 규칙
ddttn=ntn−1,n은 정수.\frac d{dt}t^n=nt^{n-1},\qquad n\text{은 정수}.
이 규칙으로 앞에서 필요했던 도함수 네 개를 구할 수 있습니다.
ddtt4=4t3,ddtt3=3t2,ddtt2=2t1=2t,ddtt=1t0=1.\frac d{dt}t^4=4t^3,\qquad \frac d{dt}t^3=3t^2,\qquad \frac d{dt}t^2=2t^1=2t,\qquad \frac d{dt}t=1t^0=1.
마지막 식에서는 항등식 t0=1t^0=1을 사용했습니다. 하지만 그 항등식이 없어도〔주24〕 ddtt\frac d{dt}t가 1이어야 한다는 점은 분명합니다. 도함수는 “입력의 변화율에 비해 출력의 변화율은 얼마일까요?”라는 질문에 답합니다. 여기서는 ‘출력’과 ‘입력’이 모두 tt이므로 변화율이 같습니다. 따라서 도함수를 정의하는 비율이 1입니다.
이 결과를 식 (11.9)에 넣어 다항식을 미분하기 전에 마지막으로 한 가지만 덧붙이겠습니다. t0=1t^0=1을 사용하면 거듭제곱 규칙은 상수 규칙과도 일치합니다.
거듭제곱 규칙으로 상수 미분하기
ddtk=ddt(kt0)[t0=1 사용]=k[ddtt0][미분의 선형성]=k[0(t−1)][n=0인 거듭제곱 규칙]=0.\begin{aligned} \frac d{dt}k&=\frac d{dt}(kt^0)&&[t^0=1\text{ 사용}]\\ &=k\left[\frac d{dt}t^0\right]&&[\text{미분의 선형성}]\\ &=k[0(t^{-1})]&&[n=0\text{인 거듭제곱 규칙}]\\ &=0. \end{aligned}
4차 다항식으로 돌아가겠습니다. 합의 규칙과 거듭제곱 규칙이 있으므로 금방 끝낼 수 있습니다.
x(t)=c4t4+c3t3+c2t2+c1t+c0,dxdt=4c4t3+3c3t2+2c2t+c1.x(t)=c_4t^4+c_3t^3+c_2t^2+c_1t+c_0,\qquad \frac{dx}{dt}=4c_4t^3+3c_3t^2+2c_2t+c_1.
다음은 거듭제곱 규칙의 다른 예입니다. 음의 지수에도 적용된다는 점에 주목하겠습니다.
ddt(3t5−4t)=15t4−4,\frac d{dt}(3t^5-4t)=15t^4-4,
ddt(t100100+π)=t99,\frac d{dt}\left(\frac{t^{100}}{100}+\sqrt\pi\right)=t^{99},
ddt(1t+4t3)=ddt(t−1+4t−3)=−t−2−12t−4=−1t2−12t4.\frac d{dt}\left(\frac1t+\frac4{t^3}\right) =\frac d{dt}(t^{-1}+4t^{-3}) =-t^{-2}-12t^{-4}=-\frac1{t^2}-\frac{12}{t^4}.
〔주23〕 기찻길이 직선이어서 기차의 물체 축이 월드 축과 정렬되어 있고 회전이 필요 없다고 가정합니다.
〔주24〕 주의하겠습니다. t=0t=0일 때 t0t^0은 정의되지 않는다고 원문은 설명합니다.

11.4.6 테일러 급수로 특별한 함수들의 도함수 구하기

이 소절에서는 다항식 미분의 매우 특별한 예를 살펴봅니다. 임의의 함수 f(x)f(x)가 주어졌을 때 테일러 급수(Taylor series) 는 ff를 다항식으로 표현하는 방법입니다. 다항식의 각 항은 함수의 점점 높은 차수의 도함수를 구해 결정합니다.
이것이 제대로 된 미적분 수업에서 테일러 급수에 대해 배워야 할 핵심일 수도 있지만, 지금은 급수가 어디서 나오는지보다 그런 것이 존재한다는 사실에만 관심을 갖겠습니다. 테일러 급수는 계산하기 ‘어려운’ 함수를 컴퓨터에서 계산하기 ‘쉬운’ 다항식으로 근사해 주기 때문에 게임에서 매우 유용합니다.
테일러 급수 전반을 자세히 이야기할 공간은 없지만 중요한 예 몇 개는 살펴보고 싶습니다. 사인과 코사인의 테일러 급수는 다음과 같습니다.
sin⁡x\sin x와 cos⁡x\cos x의 테일러 급수
sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+x99!+⋯ ,\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots,
cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+x88!+⋯ .(11.10)\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots.\tag{11.10}
이 패턴은 영원히 이어집니다. 즉 sin⁡x\sin x의 정확한 값을 구하려면 무한히 많은 항을 계산해야 합니다. 하지만 분모가 매우 빠르게 커진다는 점에 주목하겠습니다. 일정 개수의 항까지만 계산하고 나머지는 무시해도 sin⁡x\sin x를 근사할 수 있다는 뜻입니다.
원문은 컴퓨터 안에서 삼각함수를 계산하는 과정도 바로 이와 같다고 설명합니다. 먼저 함수가 주기적이라는 성질을 이용해 삼각함수 항등식으로 인수를 제한된 범위 안으로 옮깁니다. 테일러 급수를 중간에서 끊으면 특정 xx값 근처에서 정확도가 가장 높고, 삼각함수에서는 보통 그 점을 x=0x=0으로 선택하기 때문입니다.〔주25〕 그다음 예를 들어 네 항짜리 테일러 다항식을 계산합니다.
이 근사는 매우 정확합니다. x7x^7항에서 멈춰도 −1<x<1-1<x<1에서 sin⁡x\sin x를 약 소수점 5자리 반 정도의 정확도로 계산할 수 있습니다.
근사에 관한 이런 이야기도 흥미롭지만, 테일러 급수를 꺼낸 진짜 이유는 거듭제곱 규칙으로 다항식을 미분하는 본격적인 예로 사용하고, 사인·코사인·지수함수의 흥미로운 성질을 알아보기 위해서입니다. 거듭제곱 규칙으로 sin⁡x\sin x의 테일러 급수를 미분해 보겠습니다. 그리 복잡하지 않습니다. 항을 하나씩 미분하면 됩니다. 항이 무한히 많다는 사실도 두렵지 않습니다.
sin⁡x\sin x의 테일러 급수 미분하기 — 원문 전개
ddxsin⁡x=ddx(x−x33!+x55!−x77!+x99!+⋯ )=ddxx−ddxx33!+ddxx55!−ddxx77!+ddxx99!+⋯[합의 규칙]=1−3x23!+5x44!−7x67!+9x89!+⋯[거듭제곱 규칙]=1−x22!+x44!−x66!+x88!+⋯ .(11.11)\begin{aligned} \frac d{dx}\sin x &=\frac d{dx}\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots\right)\\ &=\frac d{dx}x-\frac d{dx}\frac{x^3}{3!}+\frac d{dx}\frac{x^5}{5!} -\frac d{dx}\frac{x^7}{7!}+\frac d{dx}\frac{x^9}{9!}+\cdots &&[\text{합의 규칙}]\\ &=1-\frac{3x^2}{3!}+\frac{5x^4}{4!}-\frac{7x^6}{7!}+\frac{9x^8}{9!}+\cdots &&[\text{거듭제곱 규칙}]\\ &=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots. \end{aligned}\tag{11.11}
위 유도에서는 먼저 합의 규칙을 사용했습니다. 테일러 다항식 전체를 미분하려면 항을 각각 미분해도 된다는 규칙입니다. 그다음 각 항에 거듭제곱 규칙을 적용하여 지수를 앞으로 곱하고 지수는 1씩 줄였습니다. 첫 항에는 ddxx=1\frac d{dx}x=1이라는 사실도 기억했습니다. 마지막 단계는 계승의 정의 n!=1×2×3×⋯×nn!=1\times2\times3\times\cdots\times n을 생각하면 이해할 수 있습니다. 각 분자의 상수가 분모의 계승에서 가장 큰 인수와 약분되는 것입니다.
식 (11.11)의 마지막 줄이 익숙하지 않은가? 그래야 합니다. 식 (11.10)의 cos⁡x\cos x 테일러 급수와 같기 때문입니다. 이제 sin⁡x\sin x의 도함수를 알았으며, 비슷한 과정으로 cos⁡x\cos x의 도함수도 구할 수 있습니다. 이를 공식적으로 적어 보겠습니다.〔주26〕
사인과 코사인의 도함수
ddxsin⁡x=cos⁡x,ddxcos⁡x=−sin⁡x.\frac d{dx}\sin x=\cos x,\qquad \frac d{dx}\cos x=-\sin x.
이 도함수들은 뒤의 절들에서 유용하게 쓰입니다.
이제 이 책의 뒷부분에서 중요한 역할을 하고, 미분할 수 있으면 편리하며, 마침 깔끔한 테일러 급수까지 가진 특별한 함수를 하나 더 보겠습니다. 바로 exe^x로 쓰는 지수함수(exponential function)입니다. 수학 상수 e≈2.718282e\approx2.718282에는 잘 알려진 흥미로운 성질이 많고, 금융부터 신호처리까지 온갖 문제에서 등장합니다.
ee의 특별한 지위는 대체로 함수 exe^x의 독특한 성질과 관련됩니다. 그 성질을 보여주는 한 가지가 아름다운 테일러 급수입니다.
exe^x의 테일러 급수
ex=1+x+x22!+x33!+x44!+x55!+⋯ .(11.12)e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots.\tag{11.12}
미분하면 다음과 같습니다.
ddxex=ddx(1+x+x22!+x33!+x44!+x55!+⋯ )=0+1+x1!+x22!+x33!+x44!+⋯=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯ .\begin{aligned} \frac d{dx}e^x &=\frac d{dx}\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\right)\\ &=0+1+\frac x{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\\ &=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots. \end{aligned}
그런데 이 결과는 식 (11.12)의 exe^x 정의와 같습니다. 차이는 항을 어디까지 직접 나열하고 ‘⋯\cdots’로 끝냈느냐는 겉모습뿐입니다. 즉 지수함수는 자기 자신이 도함수입니다. ddxex=ex\frac d{dx}e^x=e^x입니다. 이런 독특한 성질을 자랑할 수 있는 함수는 지수함수뿐입니다. 더 정확히 말하면 0을 포함한 지수함수의 모든 상수배가 이 성질을 갖습니다.
지수함수는 자기 자신이 도함수입니다
ddxex=ex.\frac d{dx}e^x=e^x.
바로 이 특별한 성질이 지수함수를 독특하게 만들고 응용에서 그토록 자주 나타나게 합니다. 어떤 값의 변화율이 그 값 자체에 비례하면, 시스템의 변화를 설명하는 수학 어딘가에 거의 틀림없이 지수함수가 등장합니다.
우리 대부분에게 익숙한 예는 복리입니다. P(t)P(t)를 시각 tt의 은행 계좌 잔액이라 하고 이자가 붙는다고 하겠습니다. 시간 구간당 변화율, 즉 발생한 이자는 계좌의 금액에 비례합니다. 돈이 많을수록 이자도 많이 붙고 더 빨리 자랍니다. 따라서 초기 금액 P0P_0가 이율 rr로 연속 복리 성장한다고 가정하면, 임의의 시각 tt의 금액을 나타내는 식 P(t)=P0ertP(t)=P_0e^{rt}를 통해 지수함수가 금융에 들어옵니다.
exe^x의 테일러 급수가 sin⁡x\sin x와 cos⁡x\cos x의 급수 표현과 놀랄 만큼 비슷하다는 점을 눈치챘을 것입니다. 이 유사성은 지수함수와 삼각함수 사이의 깊고 놀라운 관계를 암시하며, 연습문제 11에서 살펴봅니다.
본론에서는 조금 벗어나지만, 테일러 급수와의 짧은 만남이 매우 실용적인 수학 도구에 관심을 불러일으켰기를 바랍니다. 특히 컴퓨터에서 온갖 근사와 수치 계산을 할 때 근본적으로 중요합니다. 다항식 미분의 흥미롭고 단순하지 않은 예가 되었기를 바라기도 합니다. 또한 뒤에서 다시 등장할 사인·코사인·지수함수의 도함수를 이야기할 기회도 주었습니다.
〔주25〕 이 특별한 경우의 테일러 급수에는 매클로린 급수(Maclaurin series) 라는 더 구체적인 이름이 있습니다.
〔주26〕 이것이 올바른 도함수라는 증명을 한 것은 아니라는 점을 강조합니다. 출발점인 테일러 급수 전개 자체가 실제로 도함수로 정의되기 때문입니다.
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원문 계산식 점검 · 11.4.6 테일러 급수의 적용 범위
아무 함수나 자신의 테일러 급수와 항상 같지는 않습니다. 함수의 성질과 수렴 구간을 확인해야 합니다. 책의 사인·코사인·지수함수 예는 급수로 함수를 이해하는 데 적합합니다. 이 설명만으로 모든 컴퓨터 수학 라이브러리가 같은 단순 계산 순서를 쓴다고 단정할 수는 없습니다.
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원문 계산식 점검 · 식 (11.11)의 한 항
x5/5!x^5/5!의 도함수는 5x4/5!=x4/4!5x^4/5!=x^4/4!입니다. 중간 줄의 5x4/4!5x^4/4!는 분모의 오탈자입니다.

11.4.7 연쇄법칙

여기서 다룰 마지막 미분 규칙은 연쇄법칙(chain rule) 입니다. 함수의 인수 자체가 우리가 미분할 수 있는 또 다른 함수일 때, 전체 함수의 변화율을 구하는 방법을 알려줍니다.
토끼와 거북이의 경주에서 x(t)x(t)가 정확히 무엇을 측정하는지는 깊이 생각하지 않고 토끼의 ‘위치’라고만 했습니다. 실제 경주로가 언덕과 다리가 있고 수직 루프까지 있는 구불구불한 트랙이라고 하겠습니다. 앞에서 그래프로 그리고 x(t)x(t)라고 부른 함수가 수평 위치가 아니라 이 구불구불한 길을 따라 잰 거리를 나타낸다고 하겠습니다.
xx라는 기호가 수평 방향을 연상시키지 않도록, 트랙을 따른 거리를 주는 변수 ss를 도입하겠습니다. 단위는 물론 펄롱입니다.
주어진 거리에 있는 트랙의 고도를 나타내는 함수 y(s)y(s)가 있다고 하겠습니다. 도함수 dy/dsdy/ds는 그 지점의 트랙에 관한 아주 기본적인 것을 알려줍니다. 값이 0이면 그곳은 평평하고, 양수면 주자는 오르막을 달립니다. 큰 양수나 큰 음수이면 트랙이 매우 가파릅니다.
이제 합성함수 y(s(t))y(s(t))를 생각하겠습니다. 이것이 임의의 시각 tt에서 토끼의 고도를 알려준다는 사실을 납득할 수 있을 것입니다. 도함수 dy/dtdy/dt는 그 시각에 토끼가 수직으로 얼마나 빠르게 움직이는지 알려줍니다. 이것은 dy/dsdy/ds와 아주 다릅니다.
dy/dtdy/dt는 어떻게 구할까요? 단순히 시각 tt에서 토끼의 위치를 찾고, 그곳 트랙의 기울기를 답으로 삼으면 된다고 말하고 싶을 수 있습니다. 수학 기호로는 수직속도가 y′(s(t))y'(s(t))라는 주장입니다. 하지만 틀렸습니다. 예를 들어 토끼가 낮잠을 잘 때는 ds/dt=0ds/dt=0이므로 트랙 기울기가 어떻든 움직이지 않는 토끼의 수직속도는 0입니다!
실제로 경주 중에는 돌아서서 잘못된 방향으로 달리기도 했으므로 ds/dt<0ds/dt<0인 그때의 수직속도 dy/dtdy/dt는 트랙 기울기 dy/dsdy/ds와 부호가 반대입니다. 또한 같은 지점을 빠르게 질주하면 천천히 산책할 때보다 수직속도가 더 큽니다. 반대로 트랙이 평평한 곳에서는 아무리 빨리 달려도 수직속도가 0입니다.
따라서 토끼의 수직속도는 트랙을 따라 매개변수로 측정한 이동 속도와 그 지점의 트랙 기울기의 곱임을 알 수 있습니다.
이 규칙이 연쇄법칙입니다. 라이프니츠 표기로 쓰면 dsds라는 무한소가 ‘약분’되는 것처럼 보여 특히 직관적입니다.
미분의 연쇄법칙
dydt=dydsdsdt.\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{ds}\frac{ds}{dt}.
이제 미분할 수 있게 된 함수들을 사용한 예를 몇 가지 보겠습니다. 다음은 원문 표기를 보존한 식입니다.
연쇄법칙의 예
ddtsin⁡3x=3cos⁡3x,ddtsin⁡(x2)=2xcos⁡(x2),ddtecos⁡x+3x=(−sin⁡x+3)ecos⁡x+3x,ddtesin⁡3x+sin⁡(x2)=(3cos⁡3x+2xcos⁡(x2))esin⁡3x+sin⁡(x2).\begin{aligned} \frac d{dt}\sin3x&=3\cos3x,\\ \frac d{dt}\sin(x^2)&=2x\cos(x^2),\\ \frac d{dt}e^{\cos x+3x}&=(-\sin x+3)e^{\cos x+3x},\\ \frac d{dt}e^{\sin3x+\sin(x^2)}&=(3\cos3x+2x\cos(x^2))e^{\sin3x+\sin(x^2)}. \end{aligned}
이제 순수한 수학 관점의 미적분은 잠시 접어 두고 운동학으로 관심을 돌리겠습니다. 애초에 미적분을 이야기한 목적은 아이작 뉴턴처럼 역학을 더 잘 이해하기 위해서였습니다. 하지만 곧 적분과 미적분의 기본정리를 설명하며 미적분으로 돌아오게 됩니다.
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원문 계산식 점검 · 11.4.7 미분 변수
예제의 xx 식을 미분하면서 d/dtd/dt라고 적은 부분은 제시된 답과 맞추려면 d/dxd/dx로 읽어야 합니다. x=x(t)x=x(t)라는 의미라면 연쇄법칙에 따라 결과에 dx/dtdx/dt를 곱해야 합니다.

11.5 가속도 (Acceleration)

순간속도와 평균속도의 차이를 상당히 강조했습니다. 속도가 계속 변할 때는 중요한 구분이며, 그렇게 강조할 이유가 있습니다. 이런 상황에서는 속도가 얼마나 빠르게 변하는지 알고 싶을 수 있습니다. 다행히 방금 배운 도함수의 존재 이유가 바로 변화율을 조사하는 것입니다. 속도 함수 v(t)v(t)를 미분하면 그 순간 속도가 얼마나 빠르게 증가하거나 감소하는지 나타내는 새로운 함수를 얻습니다.
이 순간 변화율은 물리학에서 중요한 물리량이며, 익숙한 이름인 가속도(acceleration) 로 불립니다.
일상적인 대화에서 ‘가속한다’는 보통 ‘빨라진다’는 뜻입니다. 하지만 물리학의 ‘가속도’는 더 일반적인 의미를 가지며, 속력의 증가뿐 아니라 속도의 모든 변화를 가리킬 수 있습니다. 실제로 물체의 속력이 일정해도 가속도가 생길 수 있습니다! 어떻게 가능할까요? 속도는 크기와 방향을 모두 갖는 벡터입니다.
속도의 방향은 변하지만 크기, 즉 속력은 같다면 물체에 가속도가 있다고 말합니다. 말장난으로 까다롭게 구는 것이 아닙니다. 이런 가속도는 실제로 느끼는 현상입니다. 예를 들어 급회전하는 자동차의 뒷좌석에 앉은 두 사람이 한쪽으로 밀려 서로 눌리는 감각이 그렇습니다. 이 상황은 11.8절에서 더 이야기합니다.
가속도를 어떤 단위로 측정해야 할지 묻는 것만으로도 많은 것을 배울 수 있습니다. 속도에는 단위 시간당 단위 길이인 L/TL/T를 썼습니다. 속도는 단위 시간 TT당 위치 LL의 변화율이므로 말이 됩니다. 가속도는 단위 시간당 속도의 변화율이므로 ‘단위 시간당 속도 단위’로 표현해야 합니다.
원문의 해당 문장은 이를 ‘속도를 측정하는 단위’라고 쓰지만, 여기서 설명하는 가속도의 단위는 L/T2L/T^2입니다. ‘시간의 제곱’이라는 생각이 불편하다면 (L/T)/T(L/T)/T로 생각하겠습니다. 단위 시간당 속도 단위 L/TL/T라는 의미가 더 분명해집니다.
예를 들어 지표면 가까이서 자유낙하하는 물체는 약 32 ft/s232\,\mathrm{ft/s^2}, 또는 9.8 m/s29.8\,\mathrm{m/s^2}로 가속됩니다. 윌리스 타워〔주27〕 가장자리에서 금속 베어링을 들고 있다고 하겠습니다. 이를 놓으면 가속되기 시작하여 매초 아래쪽 속도에 9.8 m/s9.8\,\mathrm{m/s}가 더해집니다. 공기저항은 무시합니다. 예를 들어 2.4초 뒤 속도는 다음과 같습니다.
2.4 s×32fts2=76.8fts.2.4\,\mathrm s\times32\frac{\mathrm{ft}}{\mathrm{s^2}}=76.8\frac{\mathrm{ft}}{\mathrm s}.
더 일반적으로, 등가속도로 움직이는 물체의 임의의 시각 tt에서의 속도는 간단한 선형식으로 주어집니다.
v(t)=v0+at.(11.13)v(t)=v_0+at.\tag{11.13}
v0v_0는 t=0t=0에서의 초기속도이고, aa는 일정한 가속도입니다. 자유낙하 물체의 운동은 11.6절에서 더 자세히 다룹니다. 먼저 가속도를 그래프로 보겠습니다. 그림 11.9에는 위치 함수와 그에 대응하는 속도 및 가속도 함수를 그렸습니다.
그림 11.9
그림 11.9. 시간에 따른 위치·속도·가속도 그래프.
그림 11.9가 납득될 때까지 살펴보겠습니다. 특히 다음 관찰이 중요합니다.
•
가속도가 0인 곳에서는 속도가 일정하고 위치 그래프는 기울기가 있을 수도 있는 직선입니다.
•
가속도가 양수이면 위치 그래프는 ∪\cup처럼 휘고, 음수이면 ∩\cap처럼 휩니다. 가장 흥미로운 예는 그래프 오른쪽입니다. 가속도 그래프가 a=0a=0을 지나는 시각에 속도 곡선은 꼭대기에 도달하고 위치 곡선은 ∪\cup에서 ∩\cap으로 바뀝니다.
•
속도 함수의 불연속은 위치 그래프에 ‘꺾임’을 만듭니다. 또한 가속도를 무한대로, 실제로는 정의되지 않게 만듭니다. 그래서 앞서 말했듯 이런 불연속은 현실에서는 일어나지 않습니다. 속도 그래프에서 그 불연속 구간을 선으로 연결한 이유도 여기에 있습니다. 실제 물리 상황을 수학 모델로 근사한 그래프이기 때문입니다.
•
가속도 그래프의 불연속은 속도 그래프에 꺾임을 만들지만, 위치 그래프는 여전히 매끄럽습니다. 원문에서는 가속도는 순간적으로 바뀔 수 있으므로 가속도 그래프의 불연속은 연결하지 않았다고 설명합니다.
물체의 가속도는 시간의 함수로 달라질 수 있습니다. 계속 미분하면 또 다른 시간 함수를 얻으며 이를 ‘저크(jerk)’ 함수라고 부르는 사람도 있습니다. 이 책은 위치 함수와 그 첫 두 도함수까지만 다룹니다. 특히 가속도가 일정하거나 적어도 크기가 일정한 상황을 살펴보면 많은 것을 배울 수 있습니다. 다음 몇 절에서 바로 그 일을 하겠습니다.
11.6절에서는 자유낙하 물체와 발사체처럼 등가속도로 움직이는 물체를 다룹니다. 이는 11.7절에서 도함수와 짝을 이루는 적분을 소개하기에 좋은 배경이 됩니다. 그다음 11.8절에서는 원형 경로를 따라 움직이는 물체를 살펴봅니다. 이 경우 가속도의 크기는 일정하지만 방향은 계속 변하며 항상 원의 중심을 가리킵니다.
〔주27〕 사람들이 여전히 시어스 타워라고 부르는 그 건물입니다.
💡
원문 계산식 점검 · 11.5 차원 이름
L/T2L/T^2는 가속도의 차원입니다. 이를 속도의 차원이라고 부르는 원문의 문장은 오탈자입니다. 속도는 L/TL/T입니다.

11.6 등가속도 운동 (Constant-Acceleration Motion)

시간이 흘러도 일정한 비율로 가속되는 물체가 어떤 궤적을 그리는지 살펴보겠습니다. 단순하지만 흔하고, 완전히 이해하는 것이 중요한 경우입니다. 사실 이 절의 운동방정식들은 특히 게임 프로그래밍에서 외워 둘 만한 가장 중요한 역학 공식에 속합니다.
시작하기 전에 더 간단한 등속도 운동 을 생각하겠습니다. 등속도 운동은 등가속도 운동의 특수한 경우로, 가속도가 항상 0인 경우입니다. 등속도 입자의 운동은 직관적인 선형식이며, 레이의 방정식인 식 (9.1)과 본질적으로 같습니다. 1차원에서 시간에 따른 입자의 위치는 다음과 같습니다.
x(t)=x0+vt.(11.14)x(t)=x_0+vt.\tag{11.14}
x0x_0는 t=0t=0에서의 입자 위치이고, vv는 일정한 속도입니다.
이제 일정한 가속도로 움직이는 물체를 생각하겠습니다. 중요한 예는 이미 하나 언급했습니다. 중력에 의해 가속되는 자유낙하 물체입니다. 공기저항과 그 밖의 힘은 모두 무시합니다. 자유낙하 운동은 포물체 운동(projectile motion) 이라고도 부릅니다. 간단하게 1차원부터 시작합니다. 목표는 주어진 시각의 입자 위치를 나타내는 공식 x(t)x(t)를 얻는 것입니다.
윌리스 타워에서 불법으로 베어링을 떨어뜨리는 앞의 예로 돌아가겠습니다. 아래쪽으로 갈수록 xx가 증가하고 x0=0x_0=0인 기준계를 정하겠습니다. 즉 x(t)x(t)는 시각 tt까지 처음 높이에서 떨어진 거리를 나타냅니다. 지금은 초기속도를 v0=0 ft/sv_0=0\,\mathrm{ft/s}라고 가정합니다. 베어링을 던지지 않고 놓기만 한다는 뜻입니다.
지금은 x(t)x(t)가 어떤 형태여야 하는지도 몰라서 조금 막막합니다. 해답으로 가는 ‘앞문’이 잠겼으니, 앞에서 순간속도를 정의할 때와 비슷한 방법으로 뒤로 돌아 들어가 보겠습니다. 답을 근사하는 방법들을 생각하고, 근사가 점점 좋아질 때 무슨 일이 일어나는지 지켜보겠습니다.
예를 좀 더 구체화하겠습니다. 앞에서는 2.4초 자유낙하 후 베어링의 속도가 v(2.4)=76.8 ft/sv(2.4)=76.8\,\mathrm{ft/s}라고 구했습니다. 하지만 그동안 얼마나 이동했는지는 말하지 않았습니다. 이 거리, 즉 x(2.4)x(2.4)를 계산해 보겠습니다. 전체 2.4초 구간을 여러 작은 시간 ‘조각’으로 나누고 각 조각 동안 이동한 거리를 근사합니다.
조각별 거리의 합으로 전체 거리를 근사할 수 있습니다. 한 조각의 이동거리를 근사하려면 먼저 식 (11.13)으로 그 조각 시작 시점의 속도를 구합니다. 그런 다음 그 속도가 조각 내내 일정하다고 가정하여 식 (11.14)에 넣습니다.
표 11.3. 시간 조각 수에 따른 계산값
6개 조각, Δt=0.40\Delta t=0.40:
t0t_0
v0v_0
Δx\Delta x
0.00
0.00
0.00
0.40
12.80
5.12
0.80
25.60
10.24
1.20
38.40
15.36
1.60
51.20
20.48
2.00
64.00
25.60
합계
76.80
12개 조각, Δt=0.20\Delta t=0.20:
t0t_0
v0v_0
Δx\Delta x
0.00
0.00
0.00
0.20
6.40
1.28
0.40
12.80
2.56
0.60
19.20
3.84
0.80
25.60
5.12
1.00
32.00
6.40
1.20
38.40
7.68
1.40
44.80
8.96
1.60
51.20
10.24
1.80
57.60
11.52
2.00
64.00
12.80
2.20
70.40
14.08
합계
84.48
24개 조각, Δt=0.10\Delta t=0.10:
t0t_0
v0v_0
Δx\Delta x
0.00
0.00
0.00
0.10
3.20
0.32
0.20
6.40
0.64
0.30
9.60
0.96
0.40
12.80
1.28
0.50
16.00
1.60
0.60
19.20
1.92
0.70
22.40
2.24
0.80
25.60
2.56
0.90
28.80
2.88
1.00
32.00
3.20
1.10
35.20
3.52
1.20
38.40
3.84
1.30
41.60
4.16
1.40
44.80
4.48
1.50
48.00
4.80
1.60
51.20
5.12
1.70
54.40
5.44
1.80
57.60
5.76
1.90
60.80
6.08
2.00
64.00
6.40
2.10
67.20
6.72
2.20
70.40
7.04
2.30
73.60
7.36
합계
88.32
표 11.3은 조각 수가 6, 12, 24개일 때의 값을 보여줍니다. 각 조각의 t0t_0는 시작 시각이고, v0v_0는 시작 속도로 식 (11.13)에 따라 v0=t0×32 ft/s2v_0=t_0\times32\,\mathrm{ft/s^2}로 계산합니다. Δt\Delta t는 조각의 지속시간이며, Δx\Delta x는 그동안의 변위 근삿값으로 식 (11.14)에 따라 Δx=v0Δt\Delta x=v_0\Delta t로 계산합니다.
조각마다 초기속도가 다르므로 전체 구간에서 속도가 변한다는 사실은 반영하고 있습니다. 실제로 각 조각의 시작 속도는 근사가 아니라 정확한 계산입니다. 하지만 조각 안에서의 속도 변화를 무시했으므로 최종 답은 근사일 뿐입니다. 조각을 늘릴수록 더 좋은 근사를 얻지만, 어떤 값으로 수렴하는지 알아보기는 어렵습니다. 그림으로 보며 통찰을 얻을 수 있을지 살펴보겠습니다.
그림 11.10의 각 직사각형은 근사에 사용한 시간 구간 하나를 나타냅니다. 한 구간의 이동거리가 대응하는 직사각형의 넓이와 같다는 점에 주목하겠습니다.
직사각형 넓이=직사각형 너비×직사각형 높이=조각의 지속시간×조각에 사용한 속도=조각 동안의 변위.\begin{aligned} \text{직사각형 넓이} &=\text{직사각형 너비}\times\text{직사각형 높이}\\ &=\text{조각의 지속시간}\times\text{조각에 사용한 속도}\\ &=\text{조각 동안의 변위}. \end{aligned}
그림 11.10 — 패널 1/3
그림 11.10 — 패널 2/3
그림 11.10 — 패널 3/3
그림 11.10. 표 11.3을 그림으로 나타내기.
이제 핵심 관찰에 도달했습니다. 조각을 늘릴수록 직사각형 전체의 넓이는 속도 곡선 아래 삼각형의 넓이에 점점 가까워집니다. 극한에서 무한히 많은 직사각형을 취하면 두 넓이가 같아집니다. 떨어지는 베어링의 전체 변위는 직사각형 넓이의 합이고, 이는 곡선 아래 넓이와 같으므로 중요한 발견을 얻습니다.
이 예에서 이동한 거리는 속도 곡선 아래의 넓이와 같습니다.
순간속도를 정의할 때와 매우 비슷한 극한 논증으로 이 결론에 도달했습니다. 근사 오차가 0으로 갈 때 일련의 근사가 어떻게 수렴하는지 생각한 것입니다.
이 논증에서 v(t)v(t)의 형태에 관해 아무 가정도 하지 않았다는 점에 주목하겠습니다. 지금 예에서는 단순한 선형함수이고 그래프도 직선이지만, 임의의 속도 함수에도 이 절차가 작동하리라는 것을 납득할 수 있을 것입니다.〔주28〕 이 극한 논증을 형식화한 미적분 도구가 리만 적분(Riemann integral) 이며 11.7절에서 다룹니다.
임의의 v(t)v(t)라는 일반적인 경우를 고려하기에도 그때가 적절합니다. 하지만 지금의 특정 예에서도 배울 것이 많으므로 가능한 한 간단하게 유지하겠습니다.
풀려는 질문을 기억하겠습니다. 초기속도 0으로 놓은 물체가 중력에 의해 32 ft/s232\,\mathrm{ft/s^2}로 2.4초 동안 가속되면 얼마나 이동할까요? 이동거리와 v(t)v(t) 그래프 아래 넓이가 같다는 새로운 깨달음은 어떻게 도움이 될까요? 이 특수한 경우 v(t)v(t)는 단순한 선형함수이며 t=0t=0부터 t=2.4t=2.4까지 곡선 아래 모양은 삼각형입니다. 넓이를 구하기 쉬운 도형입니다. 밑변은 2.4초이고 높이는 v(2.4)=76.8 ft/sv(2.4)=76.8\,\mathrm{ft/s}이므로 넓이는 다음과 같습니다.
밑변×높이2=2.4 s×76.8 ft/s2=92.16 ft.\frac{\text{밑변}\times\text{높이}}2 =\frac{2.4\,\mathrm s\times76.8\,\mathrm{ft/s}}2 =92.16\,\mathrm{ft}.
겨우 2.4초 만에 베어링은 이미 92피트 넘게 떨어졌습니다!
지금의 구체적인 문제는 풀었지만 더 일반화하겠습니다. 원래 더 큰 목표는 임의의 초기 위치와 초기속도에서 물체 위치를 예측하는 운동방정식 x(t)x(t)였습니다. 먼저 상수 2.4를 임의의 시간 tt로 바꾸겠습니다. 다음으로 초기속도가 0이라는 가정을 버리고 임의의 v0v_0를 허용하겠습니다. 그러면 v(t)v(t) 곡선 아래 모양은 더 이상 삼각형 하나가 아닙니다. 그림 11.11처럼 직사각형 위에 삼각형이 놓인 모양입니다.
그림 11.11
그림 11.11. 초기속도 v0v_0와 일정한 가속도 aa가 주어졌을 때 시각 tt까지의 변위 계산하기.
직사각형의 밑변은 tt, 높이는 v0v_0이고, 넓이는 가속도가 없다면 이동했을 거리를 나타냅니다. 위쪽 삼각형도 밑변이 tt이고 높이는 atat입니다. tt초 동안 가속도 aa로 운동한 결과 초기속도에 비해 증가한 v(t)v(t)의 양입니다. 두 부분을 더하면 Δx\Delta x로 표시할 전체 변위를 얻습니다.
Δx=직사각형 넓이+삼각형 넓이=(직사각형 밑변)(직사각형 높이)+12(삼각형 밑변)(삼각형 높이)=(t)(v0)+12(t)(at)=v0t+12at2.\begin{aligned} \Delta x&=\text{직사각형 넓이}+\text{삼각형 넓이}\\ &=(\text{직사각형 밑변})(\text{직사각형 높이}) +\tfrac12(\text{삼각형 밑변})(\text{삼각형 높이})\\ &=(t)(v_0)+\tfrac12(t)(at)\\ &=v_0t+\tfrac12at^2. \end{aligned}
매우 유용한 식을 방금 유도했으니, 훑어보는 독자도 알아보도록 강조하겠습니다.
초기속도와 일정한 가속도가 주어졌을 때 변위 공식
Δx=v0t+12at2.(11.15)\Delta x=v_0t+\tfrac12at^2.\tag{11.15}
식 (11.15)는 이 책에서 외울 가치가 있는 몇 안 되는 공식 중 하나입니다. 물리 시뮬레이션에서 생기는 실제 문제를 푸는 데 매우 유용합니다.〔주29〕
변위 Δx\Delta x만 필요하고 절대 위치 x(t)x(t)는 중요하지 않은 경우도 흔합니다. 그래도 처음 목표가 x(t)x(t)였으므로, 초기 위치 x0x_0에 변위를 더해 쉽게 표현할 수 있습니다.
x(t)=x0+Δx=x0+v0t+12at2.x(t)=x_0+\Delta x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2.
식 (11.15)와 그 변형으로 어떤 문제들을 풀 수 있는지 예를 보겠습니다. 솔깃한 시나리오는 베어링을 지면까지 떨어뜨리는 것입니다. 윌리스 타워 103층 전망대는 보도에서 1,353피트 높이에 있습니다. 그 높이에서 놓으면 바닥까지 떨어지는 데 얼마나 걸릴까요? 식 (11.15)를 tt에 대해 풀면 다음과 같습니다.
시간 구하기
Δx=v0t+12at2,0=(a/2)t2+v0t−Δx,t=−v0±v02−4(a/2)(−Δx)2(a/2)[근의 공식]=−v0±v02+2aΔxa.(11.16)\begin{aligned} \Delta x&=v_0t+\tfrac12at^2,\\ 0&=(a/2)t^2+v_0t-\Delta x,\\ t&=\frac{-v_0\pm\sqrt{v_0^2-4(a/2)(-\Delta x)}}{2(a/2)}\quad[\text{근의 공식}]\\ &=\frac{-v_0\pm\sqrt{v_0^2+2a\Delta x}}a. \end{aligned}\tag{11.16}
식 (11.16)은 매우 유용한 일반식입니다. 이 문제의 숫자를 대입하면 다음과 같습니다.
t=−v0±v02+2aΔxa=−(0)±(0)2+2(32 ft/s2)(1353 ft)32 ft/s2=±86592 (ft/s)232 ft/s2≈±294.3 ft/s32 ft/s2≈±9.197 s.\begin{aligned} t&=\frac{-v_0\pm\sqrt{v_0^2+2a\Delta x}}a\\ &=\frac{-(0)\pm\sqrt{(0)^2+2(32\,\mathrm{ft/s^2})(1353\,\mathrm{ft})}}{32\,\mathrm{ft/s^2}}\\ &=\frac{\pm\sqrt{86592\,(\mathrm{ft/s})^2}}{32\,\mathrm{ft/s^2}}\\ &\approx\frac{\pm294.3\,\mathrm{ft/s}}{32\,\mathrm{ft/s^2}}\\ &\approx\pm9.197\,\mathrm s. \end{aligned}
식 (11.16)의 제곱근 때문에 해가 두 개일 수 있습니다. 여기서는 tt가 양수가 되는 근을 사용합니다.〔주30〕
높은 곳에서 베어링을 떨어뜨리는 사람이라면 자연히 얼마나 큰 피해를 줄지 궁금할 것입니다. 따라서 다음 질문은 “보도에 부딪칠 때 베어링은 얼마나 빠를까요?”입니다. 답하려면 전체 이동시간을 식 (11.13)에 넣습니다.
v(t)=v0+at=0 ft/s+(32 ft/s2)(9.197 s)=294.3 ft/s.v(t)=v_0+at=0\,\mathrm{ft/s}+(32\,\mathrm{ft/s^2})(9.197\,\mathrm s) =294.3\,\mathrm{ft/s}.
공기저항을 무시하면 충돌 순간 베어링은 1초에 미식축구장 길이 정도를 가는 속력으로 움직입니다! 상상 속에서 하는 일이 현실에서는 왜 불법인지 알 수 있습니다. 상상은 계속하겠습니다.
이제 단순히 놓지 않고 위나 아래로 던져 초기속도를 준다고 하겠습니다. 위와 아래 중 어느 쪽을 양수로 할지는 우리 선택이었고, 지금은 아래쪽을 +x+x로 정했습니다. 공중에 머무는 시간을 더 길게 하려면 초기속도가 음수여야 합니다. 몇 초 더 오래, 예를 들어 총 12초 동안 공중에 있게 하려면 초기속도는 얼마여야 할까요? 먼저 식 (11.15)를 정리해 일반해를 구하겠습니다. 이번에는 v0v_0를 구합니다.
초기속도 구하기
Δx=v0t+12at2,−v0t=−Δx+12at2,v0=Δx/t−12at.\begin{aligned} \Delta x&=v_0t+\tfrac12at^2,\\ -v_0t&=-\Delta x+\tfrac12at^2,\\ v_0&=\Delta x/t-\tfrac12at. \end{aligned}
이 문제의 값을 넣으면 다음과 같습니다.
v0=Δx/t−12at=(1353 ft)/(12.0 s)−12(32 ft/s2)(12.0 s)=112.8 ft/s−192 ft/s=−79.2 ft/s.\begin{aligned} v_0&=\Delta x/t-\tfrac12at\\ &=(1353\,\mathrm{ft})/(12.0\,\mathrm s)-\tfrac12(32\,\mathrm{ft/s^2})(12.0\,\mathrm s)\\ &=112.8\,\mathrm{ft/s}-192\,\mathrm{ft/s}\\ &=-79.2\,\mathrm{ft/s}. \end{aligned}
결과가 음수이므로 위쪽 속도라는 점에 주목하겠습니다. 이 초기속도를 주면 베어링이 다시 초기 위치로 내려오는 데 얼마나 걸리는지도 궁금할 수 있습니다. 식 (11.16)에 Δx=0\Delta x=0을 넣으면 다음과 같습니다.
t=−v0±v02+2aΔxa=−(−79.2 ft/s)±(−79.2 ft/s)2+2(32 ft/s2)(0 ft)32 ft/s2=79.2 ft/s±(−79.2 ft/s)232 ft/s2=79.2 ft/s±79.2 ft/s32 ft/s2=0 또는 4.95 s.\begin{aligned} t&=\frac{-v_0\pm\sqrt{v_0^2+2a\Delta x}}a\\ &=\frac{-(-79.2\,\mathrm{ft/s})\pm\sqrt{(-79.2\,\mathrm{ft/s})^2+2(32\,\mathrm{ft/s^2})(0\,\mathrm{ft})}}{32\,\mathrm{ft/s^2}}\\ &=\frac{79.2\,\mathrm{ft/s}\pm\sqrt{(-79.2\,\mathrm{ft/s})^2}}{32\,\mathrm{ft/s^2}}\\ &=\frac{79.2\,\mathrm{ft/s}\pm79.2\,\mathrm{ft/s}}{32\,\mathrm{ft/s^2}}\\ &=0\text{ 또는 }4.95\,\mathrm s. \end{aligned}
t=0t=0이 해인 것은 놀랍지 않습니다. 베어링이 초기 위치에 있는 시각들을 구한 것이기 때문입니다.
그림 11.12는 초기속도 v0v_0와 일정한 가속도 aa의 부호가 반대인 물체의 위치와 속도를 나타냅니다. 원문의 이 문장에는 aa를 ‘일정한 속도’라고 적은 오기가 있습니다. 세 가지 핵심을 관찰하겠습니다. ‘높이’처럼 포물체 운동에 특화된 말을 쓰지만 v0v_0와 aa의 부호가 반대인 모든 상황에서 비슷한 설명이 성립합니다.
그림 11.12
그림 11.12. 포물체 운동.
첫째, 초기속도와 반대 방향으로 가속되어 v(t)=0v(t)=0이 될 때 발사체가 최대 높이 xmax⁡x_{\max}에 도달합니다. 식 (11.13)인 v(t)=v0+atv(t)=v_0+at를 사용하면 그 시각을 쉽게 구합니다.
최고점에 도달하는 시간
v(t)=0,v0+at=0,t=−v0/a.v(t)=0,\qquad v_0+at=0,\qquad t=-v_0/a.
지금은 1차원에서 높이만 고려합니다. 차원이 둘 이상이라면 가속도와 평행한 속도 성분만 0이 되면 됩니다. 수평속도는 남아 있을 수 있습니다. 여러 차원의 포물체 운동은 곧 다룹니다.
둘째, 최대 고도에서 초기 고도로 돌아오는 데 걸리는 시간은 최대 고도에 도달하는 데 걸린 시간과 같습니다. 그림 11.12에서 초기 고도로 돌아오는 시각을 tet_e라고 표시했으므로, 발사체는 te/2t_e/2에 최고점에 도달합니다.
셋째이자 마지막으로, t=tet=t_e의 속도 vev_e는 초기속도 v0v_0와 크기가 같고 부호가 반대입니다.
여러 차원의 포물체 운동을 보기 전에 이 절에서 유도한 공식을 정리하겠습니다. 외울 만한 것은 처음 두 개뿐이며 나머지는 거기서 유도할 수 있습니다.
등가속도 운동방정식 정리 — 원문 수식
v(t)=v0+at,Δx=v0t+12at2,x(t)=x0+Δx=x0+v0t+12at2,v0=Δx/t−12at.\begin{aligned} v(t)&=v_0+at,\\ \Delta x&=v_0t+\tfrac12at^2,\\ x(t)&=x_0+\Delta x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2,\\ v_0&=\Delta x/t-\tfrac12at. \end{aligned}
t=−v0±v02+2aΔxa.(11.17)t=\frac{-v_0\pm\sqrt{v_0^2+2a\Delta x}}a.\tag{11.17}
a=2Δx−v0tt2.a=\frac{2\Delta x-v_0t}{t^2}.
〔주28〕 거의 그렇습니다. v(t)v(t)에 몇 가지 제한은 필요합니다. 예를 들어 값이 무한대로 발산하면 변위도 무한대이거나 정의되지 않을 가능성이 큽니다. 반드시 그런 것은 아니지만 말입니다. 이 책은 물리 현상에 집중하므로 함수가 얌전하게 행동한다고 가정해 이런 문제를 피합니다.
〔주29〕 취업 면접에도 자주 나옵니다.
〔주30〕 음의 근은 베어링의 궤적을 포함하는 무한한 포물선이 보도와 만나는 다른 점을 알려줍니다.

여러 차원으로 확장하기

앞의 개념을 2차원이나 3차원으로 확장하는 일은 대체로 벡터 표기로 바꾸는 문제입니다. x,v,ax,v,a는 각각 p,v,a\mathbf p,\mathbf v,\mathbf a가 됩니다.〔주31〕 물론 시간 tt는 여전히 스칼라입니다.
벡터 형식으로 쓴 등가속도 운동방정식 — 원문 수식
v(t)=v0+ta,\mathbf v(t)=\mathbf v_0+t\mathbf a,
Δp=v0t+t22a,(11.18)\Delta\mathbf p=\mathbf v_0t+\frac{t^2}{2}\mathbf a,\tag{11.18}
p(t)=p0+Δp=p0+tv0+t22a,(11.19)\mathbf p(t)=\mathbf p_0+\Delta\mathbf p =\mathbf p_0+t\mathbf v_0+\frac{t^2}{2}\mathbf a,\tag{11.19}
v0=Δp/t−12at,a=2Δp−tv0t2.\mathbf v_0=\Delta\mathbf p/t-\tfrac12\mathbf a t,\qquad \mathbf a=\frac{2\Delta\mathbf p-t\mathbf v_0}{t^2}.
식 (11.17)에 대응하는 벡터 버전은 만들지 않았다는 점에 주목하겠습니다. 잠시 뒤에 다룹니다.
겉보기에는 사소한 표기 변경이지만, 사실 꽤 깊은 사실 두 가지가 숨어 있습니다. 첫째, 대수적으로 벡터 표기는 x,y,zx,y,z 각각의 병렬적인 스칼라 방정식 묶음을 줄여 쓴 것입니다. 중요한 점은 세 데카르트 좌표가 완전히 독립적이라는 사실입니다. 예를 들어 물체 운동에 등가속도 가정이 성립한다면 yy에 관한 계산을 하며 다른 차원을 완전히 무시해도 됩니다.
좌표가 독립적이지 않다면 이런 표기 변경을 할 수 없습니다. 둘째, 식의 벡터를 대수적 요소가 아니라 기하학적 대상으로 보면, 어떤 좌표계로 그 벡터를 기술했는지는 상관없습니다. 좌표계를 지정할 필요조차 없습니다. 물론 이는 물리학의 기본 원리입니다. 자연은 우리가 어느 좌표계를 쓰는지 알지 못합니다.
좌표의 독립성 덕분에 글자 몇 개를 굵게 바꾸는 것만으로 대부분 1차원에서 3차원으로 도약할 수 있었습니다. 그래도 여러 차원의 포물체 운동에는 더 할 말이 있습니다. 모든 좌표의 영향을 동시에 고려해야 하는 상황들이 있기 때문입니다. 식 (11.17)에 대응하는 벡터식이 없다는 사실이 이미 한 가지를 암시합니다.
즉 변위 Δp\Delta\mathbf p, 가속도 a\mathbf a, 초기속도 v0\mathbf v_0가 주어졌을 때 시간 tt는 어떻게 구할까요? 1차원에서 발사체는 ‘갇혀’ 있으므로 사실상 Δx\Delta x가 뜻하는 목표에 맞지 않을 수 없습니다.〔주32〕 하지만 2차원 이상에서는 더 복잡합니다. 차원 증가에 따른 복잡성은 두 레이의 교차를 계산할 때와 비슷합니다(부록 A.8절).
원문에서는 2차원의 두 레이는 평행하지 않으면 반드시 만나지만, 3차원에는 평행하지 않으면서 만나지도 않는 꼬인 레이가 있을 수 있다고 설명합니다.
예를 들어 앞에서 높은 곳에서 놓은 베어링이 아래 보도에 도달하는 시간을 구한 것은 1차원 문제입니다. 이에 대응하는 3차원 문제는 보도 위에서 자유롭게 움직일 수 있는 양동이에 베어링을 넣으려는 것입니다. 양동이가 왼쪽에 있다면 초기속도에도 왼쪽 성분이 있어야 합니다. 그렇지 않으면 양동이에 들어가지 않습니다.
여러 차원이 더 복잡하다는 또 다른 징후는 식 (11.17)을 그대로 벡터로 옮기면 벡터의 제곱근을 구하거나 벡터를 벡터로 나누는, 의미 없는 연산이 나온다는 점입니다.
해결의 핵심은 양동이 위치든 베어링 초기속도든 수평 방향의 변화는 보도 높이에 도달하는 시간에 영향을 주지 않는다 는 사실입니다. 좌표가 서로 독립적이기 때문입니다. 수평속도와 수평가속도는 수직속도 및 수직가속도와 상호작용하지 않습니다. 구체적으로 +y+y가 위를 가리키고 x,zx,z가 수평면에 있는 표준 3차원 좌표계로 바꾸겠습니다.
베어링이 양동이 고도에 도달하는 시간은 yy에 관한 식에만 달려 있으므로, 이를 계산할 때는 x,zx,z를 무시해도 됩니다.〔주33〕 즉 발사체가 목표에 도달할 시각을 구하는 일은 여전히 1차원 계산이며, 어느 방향을 사용할지만 선택하면 됩니다. 식 (11.17)로 충돌 시각 tt를 구할 수 있습니다.
하지만 이 해는 제안일 뿐입니다. 발사체가 목표에 맞는다면 그 시각에 맞을 것이라는 사실만 압니다. 실제 명중 여부를 확인하려면 그 후보 시각을 식 (11.19)에 넣어 발사체 위치를 구하고, 목표 위치와 적절한 허용 오차 안에서 일치하는지 검증해야 합니다.
앞 문단의 ‘어느 방향을 사용할지 선택한다’는 말이 정확히 무슨 뜻인지 조금 더 이야기하겠습니다. 베어링 예처럼 일정한 가속도가 중력인 단순 포물체 운동에서는 선택할 방향이 분명합니다. 중력 방향을 쓰면 됩니다. 게다가 보통 좌표계에서 ‘위’를 주축 하나로 정하므로, 그 방향의 1차원 문제를 푼다는 것은 대응 좌표를 골라내고 나머지를 버리는 간단한 일입니다.
하지만 일반적인 상황은 더 복잡할 수 있습니다. 일반적인 경우의 세부사항을 다루기 전에, 매우 중요하고 흔한 이 특별한 상황에서 몇 가지를 더 알아보겠습니다.
가속도가 오직 중력 때문이며 그 크기가 일정하고 주축을 따라 작용하는 포물체 운동을 공부하려고, +y+y는 위쪽이고 xx는 수평축인 2차원 좌표계를 정하겠습니다. 일반성을 잃지 않고 평면을 회전해 초기속도를 포함하게 만들 수 있습니다. 그러면 입자의 전체 궤적도 그 평면에 놓입니다.
초기속도의 수평 성분 방향을 +x+x로 선택합니다. 원점도 초기 위치에 두어 단순하게 하겠습니다. 그림 11.13에 이 표기와 곧 필요한 몇 가지 항목을 표시했습니다.
그림 11.13
그림 11.13. 포물체 운동.
그림 11.13의 표기를 보면, 시간에 따른 입자 위치를 p(t)\mathbf p(t)로 나타낼 수도 있고, 개별 좌표를 x(t),y(t)x(t),y(t)로 나타낼 수도 있습니다. 그림에는 없지만 순간속도는 벡터로 v(t)\mathbf v(t), 미분 표기로 p˙(t)\dot{\mathbf p}(t)라고 씁니다. 스칼라 속도 성분은 x˙(t),y˙(t)\dot x(t),\dot y(t)라고 쓰겠습니다.
초기 위치와 초기속도에는 아래첨자 0을 붙입니다. 예를 들어 y˙0\dot y_0는 초기 수직속도입니다. 중력가속도는 g\mathbf g 또는 gg로 나타냅니다.
이 표기로 속도와 위치의 식을 쓰면 다음과 같습니다.
p˙(t)=v0+tg,x˙(t)=x˙0,y˙(t)=y˙0+gt.(11.20)\dot{\mathbf p}(t)=\mathbf v_0+t\mathbf g,\qquad \dot x(t)=\dot x_0,\qquad \dot y(t)=\dot y_0+gt.\tag{11.20}
p(t)=tv0+t22g,x(t)=tx˙0,y(t)=ty˙0+12gt2.(11.21)\mathbf p(t)=t\mathbf v_0+\frac{t^2}{2}\mathbf g,\qquad x(t)=t\dot x_0,\qquad y(t)=t\dot y_0+\tfrac12gt^2.\tag{11.21}
그림 11.13의 거리 h,dh,d는 각각 최고점 높이와 수평 이동거리로, 자주 관심 대상이 됩니다. 앞서 1차원에서 설명했듯 최대 높이는 위쪽으로 움직이던 발사체의 수직속도가 중력 때문에 0이 되는 때, 즉 y˙(t)=0\dot y(t)=0일 때 나타납니다. 그 시각은 다음과 같습니다.
최고점 도달 시간
ta=−y˙0/g.t_a=-\dot y_0/g.
이 시각의 높이는 다음과 같습니다.
최고점 고도
h=y(ta)=tay˙0+12gta2=(−y˙0/g)y˙0+12g(−y˙0/g)2=−y˙02/g+12y˙02/g=−y˙02/(2g).\begin{aligned} h=y(t_a)&=t_a\dot y_0+\tfrac12gt_a^2\\ &=(-\dot y_0/g)\dot y_0+\tfrac12g(-\dot y_0/g)^2\\ &=-\dot y_0^2/g+\tfrac12\dot y_0^2/g\\ &=-\dot y_0^2/(2g). \end{aligned}
앞에서는 초기 높이로 돌아오는 시간 tet_e가 최고점 도달 시간의 두 배라고 했지만, 그림에만 의존했습니다. 이번에는 대수적으로 확인하겠습니다.
초기 고도로 돌아오는 시간
y(t)=ty˙0+12gt2,0=tey˙0+12gte2[초기 위치는 원점],−12gte2=tey˙0,te=−2y˙0/g[−12gte로 나눔].\begin{aligned} y(t)&=t\dot y_0+\tfrac12gt^2,\\ 0&=t_e\dot y_0+\tfrac12gt_e^2\qquad[\text{초기 위치는 원점}],\\ -\tfrac12gt_e^2&=t_e\dot y_0,\\ t_e&=-2\dot y_0/g\qquad[-\tfrac12gt_e\text{로 나눔}]. \end{aligned}
예상대로 비행시간 tet_e는 최고점 도달 시간의 두 배입니다. 이제 수평 이동거리 dd를 계산하겠습니다.
수평 이동거리
d=x(te)=tex˙0=−2y˙0x˙0/g.d=x(t_e)=t_e\dot x_0=-2\dot y_0\dot x_0/g.
물론 te,dt_e,d는 발사체가 초기 고도로 돌아오는 때 를 알고 싶다는 가정에 기반합니다. 평평한 지면에서 발사할 때 중요합니다. 지면에서 발사하지 않거나 지면이 평평하지 않다면 포물선이 지면과 만나는 곳을 따로 고려해야 합니다.
초기속도를 각 축 성분 대신 각도와 속력으로 정하고 싶을 때가 많습니다. 즉 데카르트 좌표 대신 극좌표를 쓰려는 것입니다. 그림 11.13처럼 초기 발사 속력을 s0=∥v0∥s_0=\|\mathbf v_0\|, 발사각을 θ\theta라고 합니다. 원문은 이 변환을 데카르트에서 극좌표로 바꾼다고 설명하지만, 제시된 식은 다음처럼 성분을 얻는 식입니다. 방법이 기억나지 않으면 7.1.3절을 참고하겠습니다.
x˙0=s0cos⁡θ,y˙0=s0sin⁡θ.\dot x_0=s_0\cos\theta,\qquad \dot y_0=s_0\sin\theta.
이를 운동방정식 (11.20), (11.21)에 대입하면 발사각과 속력으로 쓴 포물체 운동방정식을 얻습니다.
x˙(t)=s0cos⁡θ,y˙(t)=s0sin⁡θ+gt,x(t)=ts0cos⁡θ,y(t)=ts0sin⁡θ+12gt2.\begin{aligned} \dot x(t)&=s_0\cos\theta,\\ \dot y(t)&=s_0\sin\theta+gt,\\ x(t)&=ts_0\cos\theta,\\ y(t)&=ts_0\sin\theta+\tfrac12gt^2. \end{aligned}
te,h,dt_e,h,d도 s0,θs_0,\theta로 표현할 수 있습니다.
발사각과 속력으로 표현한 포물체 운동의 주요 값
ta=−y˙0/g=−(s0sin⁡θ)/g=−s0sin⁡θ/g,te=−2y˙0/g=−2(s0sin⁡θ)/g=−2s0sin⁡θ/g,d=−2y˙0x˙0/g=−2(s0sin⁡θ)(s0cos⁡θ)/g=−2s02sin⁡θcos⁡θ/g,h=−12y˙02/g=−12(s0sin⁡θ)2/g=−s02sin⁡2θ/(2g).\begin{aligned} t_a&=-\dot y_0/g=-(s_0\sin\theta)/g=-s_0\sin\theta/g,\\ t_e&=-2\dot y_0/g=-2(s_0\sin\theta)/g=-2s_0\sin\theta/g,\\ d&=-2\dot y_0\dot x_0/g=-2(s_0\sin\theta)(s_0\cos\theta)/g =-2s_0^2\sin\theta\cos\theta/g,\\ h&=-\tfrac12\dot y_0^2/g=-\tfrac12(s_0\sin\theta)^2/g =-s_0^2\sin^2\theta/(2g). \end{aligned}
이 식들은 발사 속력·발사각·비행시간·비행거리라는 ‘사용자에게 친숙한’ 값들 사이의 관계를 직접 나타내므로 매우 실용적입니다.
여기서 잠깐 초기속력 s0s_0와 수평 이동거리 dd의 관계를 흥미롭게 관찰해 보겠습니다. 이는 이차 관계입니다. s0s_0를 kk배로 늘리면 dd는 k2k^2배가 됩니다. dd도 같은 kk배로 늘어나는 선형 관계가 더 자연스럽게 느껴질 수 있습니다.
초기속도를 앞에서 x˙0,y˙0\dot x_0,\dot y_0라고 부른 수평·수직 성분으로 나누면 이차 관계를 이해할 수 있습니다. x˙0\dot x_0를 늘리면 dd도 같은 비율로 늘어난다는 것은 어렵지 않습니다. 덜 분명한 사실은 y˙0\dot y_0에도 같은 성질이 있다는 것입니다. 공중에 머무는 시간이 y˙0\dot y_0에 비례하기 때문입니다.
수직속도를 늘리면 더 오래 이동할 시간을 주는 셈입니다. 따라서 s0s_0에 적용한 배율은 거리에 두 번 작용합니다. 한 번은 x˙0\dot x_0에 따른 수평속도 증가, 또 한 번은 y˙0\dot y_0에 따른 이동시간 증가입니다. 그래서 s0s_0와 dd의 관계는 이차적입니다.
이제 미뤄 두었던 질문으로 돌아가겠습니다. 임의의 벡터 Δp,a,v0\Delta\mathbf p,\mathbf a,\mathbf v_0에서 충돌점을 어떻게 구할까요? 핵심은 ‘방향을 선택’해 그 방향의 1차원 문제를 푸는 것이라고 했습니다. 주축 방향을 선택했다면 다른 좌표를 버리면 됩니다. 임의의 방향이라면 문제를 그 방향의 직선에 투영합니다. 그 직선에 수직인 변위·속도·가속도 성분은 투영 중에 버려집니다. 2.11절에서 내적으로 직선에 투영하고 특정 방향의 변위를 측정하는 방법을 배웠습니다. 이제 방향만 고르면 됩니다.
발사체가 목표에 맞는다고 가정하면 어느 방향을 골라도 같은 tt를 얻습니다. 그렇다고 선택이 중요하지 않다는 뜻은 아닙니다. 베어링 예에서 +x+x나 +z+z를 고르면 그 방향의 가속도가 없으므로 식 (11.17)에서 0으로 나누게 됩니다. 그래서 a\mathbf a 자체를 투영 방향으로 쓰는 전략이 떠오릅니다. 각 벡터 물리량을 a\mathbf a와 내적하여 다음처럼 대입합니다.
Δx=Δp⋅a,v=v⋅a,a=a⋅a.\Delta x=\Delta\mathbf p\cdot\mathbf a,\qquad v=\mathbf v\cdot\mathbf a,\qquad a=\mathbf a\cdot\mathbf a.
이 스칼라 값들을 식 (11.17)에 넣으면 됩니다. 연습문제 10에서 더 자세히 살펴봅니다.
〔주31〕 xx좌표가 y,zy,z보다 특별하다는 느낌을 피하려고 x\mathbf x 대신 position의 약자인 p\mathbf p를 씁니다.
〔주32〕 예외가 하나 있습니다. 연습문제 8을 참고하겠습니다.
〔주33〕 공기저항을 무시하는 이상적인 포물체 운동을 가정한 설명입니다. 물론 옆 건물에 부딪쳐서도 안 됩니다. 그러면 수평운동도 분명히 중요해집니다.
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점프를 설계할 때 유용한 역산
위를 양의 방향으로 잡고 중력가속도를 ay=−ga_y=-g, g>0g>0라 하겠습니다. 원하는 최고 높이가 HH, 최고점 도달 시간이 TT라면 꼭대기에서 수직속도가 0이라는 조건으로 다음을 얻습니다.
0=v0y−gT,H=v0yT−12gT2,0=v_{0y}-gT,\qquad H=v_{0y}T-\tfrac12gT^2,
g=2HT2,v0y=2HT.g=\frac{2H}{T^2},\qquad v_{0y}=\frac{2H}{T}.
예를 들어 1초 만에 2 m 높이까지 뛰고 싶다면 g=4 m/s2g=4\,\mathrm{m/s^2}, v0y=4 m/sv_{0y}=4\,\mathrm{m/s}로 설정합니다. 이것은 실제 지구의 중력을 재현하는 설정이 아니라 원하는 게임 동작을 만드는 설정입니다. 수평 가속도가 0이라면 수평속도를 별도로 정할 수 있습니다. 같은 높이로 착지하는 총 비행시간은 2초이므로, 6 m를 건너뛰려면 수평속도를 3 m/s로 주면 됩니다. 공기저항·충돌·중력 변경이 들어가면 이 조건을 다시 살펴야 합니다.
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원문 계산식 점검 · 11.6 가속도 역산
변위식 Δx=v0t+12at2\Delta x=v_0t+\tfrac12at^2를 풀면 a=2(Δx−v0t)/t2a=2(\Delta x-v_0t)/t^2입니다. 원문의 (2Δx−v0t)/t2(2\Delta x-v_0t)/t^2는 초기속도 항에 2가 빠져 있습니다. 벡터도 a=2(Δp−tv0)/t2\mathbf a=2(\Delta\mathbf p-t\mathbf v_0)/t^2가 맞습니다. 두 식 모두 t≠0t\ne0 조건이 필요합니다.
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원문 계산식 점검 · 11.6 근의 공식의 조건
가속도가 0이면 근의 공식으로 나누지 말고 등속도 식을 사용합니다. 가속도가 0이 아닐 때 판별식이 음수이면 그 위치에 도달하지 않습니다. 두 양의 해가 생길 수도 있습니다. 공이 올라가다가 한 번, 내려오다가 한 번 같은 높이를 지나가는 경우입니다. 문맥에 맞는 해를 골라야 합니다.
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원문 계산식 점검 · 11.6 직선·반직선과 좌표 변환
평면에서 평행하지 않으면 반드시 만난다는 설명은 무한 직선에 관한 성질입니다. 방향이나 유효한 매개변수 구간을 제한한 반직선·선분은 추가 조건을 검사해야 합니다. 또 속력과 각에서 vx=scos⁡θ,vy=ssin⁡θv_x=s\cos\theta,v_y=s\sin\theta를 얻는 식은 극좌표에서 직교좌표로 바꾸는 방향입니다.

11.7 적분 (Integrals)

방금 우리는 어떤 시간 구간에서 물체의 전체 변위가 속도 그래프 아래 넓이와 같음을 보였습니다. 일정한 가속도의 예는 그래프가 간단해서 넓이도 기하학적으로 쉽게 구할 수 있었습니다. 이 특수한 경우의 응용이 흥미로워서, 놀라운 등가성으로 이어진 극한 논증을 더 일반적으로 추적하지는 않았습니다.
이제 더 일반적인 경우를 이야기할 준비가 되었습니다. 성장률이 알려진 함수일 때 ‘연속적인 합’을 계산해야 하는 상황은 공학과 과학에서 흔합니다. 이런 합을 구하는 미적분 도구가 적분(integral) 입니다.
이미 적분을 공부했고 어디에 쓰는지 직관이 충분하다면 역학으로 돌아가는 11.8절까지 건너뛰어도 됩니다. 하지만 적분을 배운 적이 없거나 직관이 조금 불안하다면 계속 읽어 보세요.
적분에 접근하는 중요한 방법은 두 가지입니다. 첫째는 ‘아주 작은 요소를 많이 더한다’는 생각을 조금 더 정확하게 만들고 수학적으로 형식화하는 것입니다. 둘째는 적분을 도함수와 비교하는 것입니다. 두 해석을 모두 이해해야 합니다. 적분은 도함수보다 조금 이해하기 어렵지만, 뒤에서 드러나듯 물리 시뮬레이션과 게임 프로그래밍의 많은 다른 분야에서 훨씬 큰 역할을 합니다.
종이와 연필로 적분의 해석적 해를 구하는 수많은 기법은 여기서는 수치적분 기법으로 대신하므로 크게 유용하지 않을 수 있습니다. 그래도 적분이 무엇을 하는지는 매우 중요합니다.
이제 비형식적인 합산을 수학 표기로 바꾸어 a≤x≤ba\le x\le b 구간에서 f(x)f(x) 곡선 아래 넓이를 계산하겠습니다. 구간을 폭이 Δx=(b−a)/n\Delta x=(b-a)/n인 nn개의 조각으로 나눕니다. 원문 설명에서 ii번째 직사각형의 왼쪽 좌표는 xix_i, 높이는 f(xi)f(x_i), 넓이는 f(xi)Δxf(x_i)\Delta x입니다. 합 기호로 이 직사각형들을 더합니다.
넓이≈∑i=1nf(xi)Δx.\text{넓이}\approx\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x.
조각 수 nn이 커질수록 근사 오차는 줄어듭니다. 지금까지의 설명을 따라왔다면, 극한까지 한 번 더 가야 한다는 것을 알 것입니다.〔주34〕 nn이 한없이 증가하고 조각이 무한히 작아지는 극한을 취하면 정적분(definite integral) 의 정의를 얻습니다.
정적분
∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi)Δx.(11.22)\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x.\tag{11.22}
이 식에서 원문은 다음과 같이 정의합니다.
Δx=(b−a)/n,xi=a+iΔx.\Delta x=(b-a)/n,\qquad x_i=a+i\Delta x.
식 (11.22)는 “aa부터 bb까지 f(x) dxf(x)\,dx의 적분”이라고 읽습니다. dxdx를 ‘xx에 관하여’라고 읽는 사람도 있습니다. 양변의 표기가 매우 비슷한 것은 의도한 것입니다. 미분에서와 마찬가지로 유한한 증분 Δx\Delta x가 무한소 dxdx가 됩니다.
불연속 합에 쓰는 시그마 ∑\sum는 길게 늘인 S 모양의 ∫\int로 바뀝니다. 라이프니츠는 이 기호가 ‘합산(summation)’을 뜻하도록 만들었습니다.〔주35〕 a,ba,b는 적분구간의 끝점(limits of integration) 으로 시작과 끝을 정합니다.
적분하는 함수를 피적분함수(integrand) 라고 합니다.
이렇게 ‘세로 조각’의 합으로 정의한 적분을 리만 적분(Riemann integral) 이라고 합니다. 가장 흔한 정의이지만 가장 일반적인 것은 아닙니다. 사실 우리의 정의는 보통의 리만 적분 정의만큼 일반적이지도 않습니다. 눈썰미 있는 독자는 Δx\Delta x가 상수이므로 합 앞으로 꺼내 Δx∑i=1nf(xi)\Delta x\sum_{i=1}^n f(x_i)로 쓸 수 있음을 알아챘을 것입니다.
지금은 모든 조각의 폭이 같은 균등분할을 사용하므로 가능합니다. 일반적으로는 이 제약이 필요하지 않습니다. 전통적인 리만 적분 정의는 가장 넓은 조각의 폭이 0으로 가는 극한을 취합니다. 우리가 다루는 얌전한 함수에는 이 정의로 충분하지만, 더 특이한 함수에는 더 강력한 정의가 필요합니다.
또한 직사각형 넓이를 왜 중점 같은 곳이 아니라 왼쪽 함수값으로 계산하는지 궁금할 수 있습니다. 중점을 쓰면 분명 더 정확할 것 같습니다. 이론적으로 리만 적분을 정의할 때는 극한에서 이런 선택들이 같아지므로 어느 쪽을 골라도 됩니다. 하지만 수치적으로 적분을 근사할 때는 이런 선택을 고려하면 유용합니다.

11.7.1 적분의 예

적분의 예를 볼 만큼 표기와 용어를 소개했습니다. 더 깊은 수학적 세부사항에 들어가기 전에 먼저 예를 보고 싶습니다. 게임 프로그래밍과 여러 공학 분야에서 적분의 많은 응용은 곡선 아래 넓이보다는 ‘누계(running total)’로 생각하는 편이 더 직접적입니다. 전기계량기를 생각하겠습니다.
어느 순간이든 계량기 숫자는 그 순간 사용하는 전기의 양에 따라 정해지는 비율로 증가합니다. 계량기는 연속적인 누계이며, 소비율을 적분한다고 말합니다. 에어컨이 켜지면 소비율이 올라가 숫자가 더 빨리 증가합니다. 날씨 좋은 밤에 불을 모두 끄고 창문을 열어 놓으면 소비가 가장 낮고 계량기는 천천히 돕니다.
소비율은 시간에 따라 변하는 함수이며 바로 피적분함수입니다. 두 시각 a,ba,b 사이에서 이 함수를 정적분하면 그 구간에 사용한 총 에너지를 얻습니다.
전기 사용량 계산하기
총 에너지 사용량=∫시작 시각종료 시각순간 소비율 dt.(11.23)\text{총 에너지 사용량}=\int_{\text{시작 시각}}^{\text{종료 시각}} \text{순간 소비율}\,dt.\tag{11.23}
지금 논의의 핵심은 아니지만 정확한 물리 용어와 단위도 언급하겠습니다. 11.2절의 차원 분석으로 돌아가면 에너지는 힘과 길이의 곱인 유도 물리량입니다. 12장에서는 힘도 유도 물리량이고 단위가 ML/T2ML/T^2이며 SI에서는 뉴턴(N)으로 측정한다는 것을 보입니다. 따라서 에너지의 추상적 단위는 ML2/T2ML^2/T^2입니다.
기본 단위가 이렇게 조합되다니 참 머리가 어지럽습니다. SI에서 에너지는 줄(J)로 재며 1 J=1 N m=1 kg m2/s21\,\mathrm J=1\,\mathrm{N\,m}=1\,\mathrm{kg\,m^2/s^2}입니다. ‘단위 시간당 에너지 전달률’의 정확한 물리 용어는 일률(power) 이며 SI 단위는 초당 1줄과 같은 와트(W)입니다.
전체 에너지 소비를 EE, 순간 소비율을 P(t)P(t)라고 하면 식 (11.23)을 다음처럼 쓸 수 있습니다.
조금 더 품위 있는 표기로 전기 사용량 계산하기
E=∫시작 시각종료 시각P(t) dt.(11.24)E=\int_{\text{시작 시각}}^{\text{종료 시각}}P(t)\,dt.\tag{11.24}
에너지를 수량화하는 세부사항은 핵심이 아니지만 매우 중요한 관찰이 하나 있습니다. 식 (11.24)의 차원이 일치한다는 것입니다. 왼쪽은 SI에서 줄로 재는 에너지입니다. 그런데 오른쪽 소비율은 와트입니다. 어떻게 같을까요? 적분은 합을 나타내며, 더하는 무한소 요소는 피적분함수 P(t)P(t)와 적분 영역의 무한소 조각 dtdt의 곱이라는 사실을 기억하겠습니다.
리만 적분으로 보면 앞의 것은 조각의 높이, 뒤의 것은 폭입니다. 여기서 dtdt는 초로 측정한 아주 작은 시간 간격이므로 오른쪽 단위는 W×s=(J/s)×s=J\mathrm W\times\mathrm s=(\mathrm{J/s})\times\mathrm s=\mathrm J입니다. 따라서 식 (11.24)의 양변은 모두 줄 단위입니다.
전체 사용량 대신 전기요금을 계산하여 예를 확장할 수 있습니다. 에너지 가격이 고정이면 소비량에 가격을 곱하면 됩니다. 하지만 가격이 시시각각 변한다면 어떨까요? 요즘이라면 상상하기 어렵지 않을 것입니다. 그때는 에너지 대신 비용을 적분합니다. 길이가 dtdt인 무한히 작은 시간 조각 하나의 비용을 구하는 방법을 정한 다음 모든 조각을 더합니다.
전기요금 계산하기
총 비용=∫시작 시각종료 시각RateOfExpendature(t) dt=∫시작 시각종료 시각ConsumptionRate(t)Price(t) dt.\begin{aligned} \text{총 비용} &=\int_{\text{시작 시각}}^{\text{종료 시각}}\mathrm{RateOfExpendature}(t)\,dt\\ &=\int_{\text{시작 시각}}^{\text{종료 시각}}\mathrm{ConsumptionRate}(t)\mathrm{Price}(t)\,dt. \end{aligned}
즉 지출률을 적분하며, 지출률은 소비율과 가격의 곱입니다.
다른 예로 속도를 조절하는 발 페달이 달린 재봉틀을 사용하는 남자를 상상하겠습니다. 페달을 조금 밟으면 천이 천천히 움직이고, 끝까지 밟으면 최고 속도로 움직입니다. 딸이 책상 아래 앉아 아버지의 바느질을 보고 있다고 하겠습니다. 재봉틀이나 천은 보이지 않고 페달만 보입니다.
아이에게 주어진 정보는 페달이 눌린 정도뿐입니다. 하지만 재봉틀과 페달에 관한 지식을 바탕으로 시각 tt에 천이 움직이는 속도를 나타내는 함수 f(t)f(t)를 추론할 수 있다고 가정하겠습니다. 1분쯤 페달을 지켜본 뒤 아버지가 멈추고 “천을 얼마나 박았게?”라고 묻습니다.
이 아이는 특히 똑똑하고 적분을 조금 알아서 f(t)f(t)를 적분하여 바늘 아래를 지나간 천의 총길이를 구합니다. 뒤에서 보겠지만 이런 질문은 게임에서 적분으로 푸는 역학 문제와 실제로 꽤 비슷합니다!
도움 되는 비유를 하나 더 보겠습니다. 도함수는 순간 변화율을 알려주는 속도계이고, 적분은 그 변화율을 연속적으로 더하는 주행거리계라고 생각하겠습니다. 속도계 눈금은 작년 여름의 자동차 여행이나 2초 전의 일에 영향을 받지 않습니다. 그 순간 일어나는 일만 반영합니다. 반면 주행거리계는 누계이므로 자동차가 처음 판매점을 떠난 이래의 전체 이력이 포함됩니다.
재봉틀 아래의 아이가 어느 시점까지 사용한 천의 총량을 정확히 추정하려면 내내 페달에 주의를 기울여야 합니다.
적분으로 푸는 많은 공학 문제는 이런 연속 합의 언어로 표현됩니다. 속도 함수 v(t)v(t)를 알 때 전체 변위는 얼마일까요? 수도꼭지의 회전각 이력이 주어졌을 때 욕조의 총 물량은 얼마일까요? 시간별 연료 연소율이 주어졌을 때 남은 연료는 얼마일까요? 적분식을 세우려면 먼저 유한한 합 ∑\sum과 유한한 간격 Δx\Delta x로 원하는 값을 근사한다고 생각합니다.
그다음 극한 논증으로 ∑\sum를 ∫\int로, Δx\Delta x를 dxdx로 바꿉니다. 식 (11.22)를 다시 보겠습니다. 이것이 ‘연속적인 합’의 핵심입니다.
물론 미적분 교과서가 즐겨 강조하듯 곡선 아래 넓이를 계산할 수도 있습니다. 선을 왼쪽에서 오른쪽으로 움직일 때 피적분함수는 넓이가 누적되는 비율을 정합니다. 함수값이 큰 곳에서는 조각이 높으므로 총넓이가 더 빨리 늘어납니다. 하지만 게임 프로그래머의 관점에서는 미적분 교과서가 현실 문제에서의 비중에 비해 이 특정 응용에 지나치게 집중하는 것처럼 보입니다.
〔주34〕 이글스 팬이라면 이 농담을 알아들었을 것입니다. 나머지 독자도 ‘In the Long Run’ 알게 될 것입니다. 그저 ‘Take It Easy’, ‘Get Over It’ 하면 ‘Peaceful Easy Feeling’을 얻을 것입니다. 원문은 여러 이글스 곡 제목을 이어서 말장난합니다.
〔주35〕 실제로는 독일어를 썼으므로 summierung입니다. 영어에서도 S로 시작하는 것은 운이 좋습니다.
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원문 계산식 점검 · 11.7 리만 합의 표본점
xi=a+iΔxx_i=a+i\Delta x, i=1,…,ni=1,\ldots,n이면 각 구간의 오른쪽 끝점입니다. 왼쪽 끝점을 쓰려면 a+(i−1)Δxa+(i-1)\Delta x입니다. 책에서 다루는 연속함수는 어느 쪽이든 극한에서 같은 정적분을 줍니다.

11.7.2 도함수와 적분의 관계

이제 적분의 목적이 머릿속에 확실히 자리 잡았기를 바라며, 적분을 계산하는 방법을 보겠습니다. 정의인 식 (11.22)를 보면 도대체 그 극한을 어떻게 계산하나 싶습니다. 도함수에서는 식을 정리해서 Δt=0\Delta t=0을 직접 대입할 수 있었지만, 식 (11.22)에서는 그럴 수 없어 보입니다.
알고 보면 식 (11.22)는 주로 지금 문제가 적분이라는 것을 알아보고 올바르게 적분 표기로 옮기는 데 유용합니다. 수치적분에도 쓰입니다. 조각 폭을 0까지 보내는 대신 작지만 유한한 Δx\Delta x에서 멈추는 것입니다. 하지만 종이와 연필로 적분을 풀 때는 이 정의를 직접 사용하지 않습니다.
간단한 기하학적 논증으로 풀었던 적분인 식 (11.15)를 좀 살펴보겠습니다. 위치를 시간의 함수로 나타냈으므로 한 번 미분하면 속도 함수 v(t)v(t), 다시 미분하면 가속도 함수 a(t)a(t)를 얻어야 합니다. 확인해 보겠습니다.
x(t)=x0+v0t+12at2,(11.25)x(t)=x_0+v_0t+\tfrac12at^2,\tag{11.25}
x˙(t)=v(t)=v0+at[미분],\dot x(t)=v(t)=v_0+at\qquad[\text{미분}],
x¨(t)=v˙(t)=a(t)=a[다시 미분].\ddot x(t)=\dot v(t)=a(t)=a\qquad[\text{다시 미분}].
예상대로입니다. 놀랍지는 않지만 수학과 물리가 실제로 작동한다는 사실을 확인하니 안심됩니다. 위치 함수의 도함수가 속도 함수라는 것은 알고 있었습니다. 그런데 왜 이 지식을 아까 사용하지 않았을까요? 우리는 v(t)v(t)를 알고 x(t)x(t)를 찾고 있었습니다. 그림으로 답에 접근할 수 있었지만 다른 길도 있을 것 같습니다.
곡선 아래 넓이를 계산하는 함수를 찾는 대신, 미분하면 이미 아는 속도 함수가 되는 위치 함수를 찾을 수도 있었습니다. 이런 함수를 원시함수(antiderivative) 라고 합니다.
‘적분은 미분의 반대’라는 생각을 더 살펴보겠습니다. 본질적으로 할 일은 11.4.5절에서 배운 작은 일부를 포함해 미분 규칙을 거꾸로 적용하는 것입니다.〔주36〕 속도 함수 v(t)=v0+atv(t)=v_0+at에서 시작해 그 도함수가 v(t)v(t)인 x(t)x(t)를 찾는다고 하겠습니다.
잠시 답을 아직 모르는 척하겠습니다. 합의 규칙을 거꾸로 써서 v(t)v(t)를 항별로 나누고, 거듭제곱 규칙을 거꾸로 써서 각 항의 원시함수를 구합니다. 미분의 거듭제곱 규칙은 기본적으로 “지수를 앞으로 곱하고, 지수를 1 줄인다”였습니다. 따라서 원시함수의 거듭제곱 규칙은 “지수를 1 늘리고, 새 지수로 나눈다”입니다.
두 규칙을 v0+atv_0+at에 적용하면 다음과 같습니다.
v(t)=x˙(t)=v0+at,x(t)=v0t+12at2.v(t)=\dot x(t)=v_0+at,\qquad x(t)=v_0t+\tfrac12at^2.
그런데 식 (11.25)와 비교하면 x0x_0항이 빠졌습니다. 어떻게 된 일일까요? 미분할 때는 어느 정도 ‘정보 손실’이 생깁니다. 얼마나 빠르게 움직였는지 알면 얼마나 이동했는지는 알 수 있습니다. 하지만 출발점을 모르면 도착 위치는 알 수 없습니다. 추가 항 x0x_0가 바로 미분이 버린 ‘출발점’입니다.
상수의 도함수는 언제나 0이기 때문입니다. 따라서 v(t)v(t)의 원시함수를 유일한 하나인 것처럼 말하는 것은 정확하지 않습니다. 미분하면 v(t)v(t)가 되는 함수는 하나가 아니라 무한히 많습니다. 서로 다른 원시함수는 사실 x0x_0값에 따라 그래프가 수직으로 이동한 서로의 복사본입니다.
정적분과 원시함수 사이에 어떤 관계가 있다고 일반적으로 설명했습니다. 따라서 적분과 미분이 어떤 의미에서 역연산이라는 것은 압니다. 이 관계를 정확히 정리하는 정리에는 중요한 이름이 붙어 있습니다. 미적분의 기본정리(fundamental theorem of calculus)입니다. 실제로는 두 부분으로 이루어지며 자료마다 나열하는 순서가 다르기도 합니다.
첫째 부분은 원시함수로 정적분을 구하는 방법을 보여줍니다.
미적분의 기본정리, 제1부 — 원문 표기
f(t)=F′(t)f(t)=F'(t)라고 하겠습니다. 즉 F(t)F(t)는 f(t)f(t)의 임의의 원시함수입니다. 그러면 정적분 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx를 다음처럼 계산할 수 있습니다.
∫abf(t) dx=F(b)−F(a).(11.26)\int_a^b f(t)\,dx=F(b)-F(a).\tag{11.26}
식 (11.26)은 추상적으로 보면 조금 신비해 보일 수 있습니다. 하지만 일반적인 F(t),f(t)F(t),f(t) 대신 위치와 속도 표기를 쓰면 첫째 부분은 당연한 말을 하는 것처럼 보입니다.
∫abv(t) dt=x(b)−x(a).\int_a^b v(t)\,dt=x(b)-x(a).
이는 시각 aa부터 bb까지 속도의 누적 효과, 즉 그 구간의 순변위가 시각 bb의 위치와 시각 aa의 위치의 차이와 같다는 뜻입니다.
어느 원시함수를 쓰든 상관없다는 점에 주목하겠습니다. x(b)−x(a)x(b)-x(a)를 계산하면 x(t)x(t) 안의 상수 오프셋 x0x_0가 서로 상쇄되기 때문입니다. 전기계량기 비유를 생각해 보겠습니다. 계량기의 원래 숫자는 소비율의 원시함수로 볼 수 있습니다. 월초와 월말의 눈금은 각각 F(a),F(b)F(a),F(b)입니다.
눈금의 절대적인 숫자는 대체로 의미가 없습니다. 이전에 살던 사람의 사용량까지 반영할 수도 있습니다. 하지만 두 눈금의 차이는 매우 중요합니다. 정적분에 해당하며 이번 달 전기요금을 결정합니다.
자동차 주행거리계를 생각해도 됩니다. 어떤 여행의 길이를 재고 싶다면 출발할 때, 원문에 따르면 대략 1980년 이후의 모든 자동차에 있는 구간 주행거리계의 초기화 버튼을 누르고, 끝날 때 그 값을 읽으면 됩니다. 두뇌를 조금도 쓰거나 미적분 원리를 하나도 활용하지 않아도 된다는 데 기뻐할 수 있습니다.
하지만 구간 주행거리계가 고장 나 전체 주행거리계만 남았다면 어떨까요? 이것은 쉽게 초기화할 수 없습니다.〔주37〕 그때는 이 책에서 얻은 미적분 지식, 또는 어디서나 얻을 법한 상식을 사용해 두 눈금의 차이를 구합니다. 원문 문장은 ‘출발 눈금에서 도착 눈금을 뺀다’고 적고 있지만, 바로 앞의 식이 나타내는 이동거리는 도착 눈금에서 출발 눈금을 뺀 값입니다.
실제 눈금들은 원시함수 값 F(a),F(b)F(a),F(b)입니다. 전기계량기와 마찬가지로 숫자 자체는 중요하지 않고〔주38〕 차이만 중요합니다.
미적분의 기본정리 첫째 부분은 매우 중요합니다. 적어도 종이와 연필로는 실제로 이런 방식으로 적분을 계산하기 때문입니다. 정적분을 조각 수가 무한대로 가고 폭이 무한히 얇아지는 극한에서 작은 조각들의 합으로 정의했다는 점을 기억하겠습니다. 이 정의는 도함수의 정의와 달리 대수적으로 다루기 쉽지 않습니다. 첫째 부분은 적분의 정의로 문제를 세울 수는 있지만, 실제 정적분 계산은 적어도 손으로 풀 때 피적분함수의 원시함수를 찾아 한다고 말합니다.
둘째 부분은 첫째 부분의 반대편입니다. 첫째 부분이 원시함수로 정적분을 계산한다고 말했다면, 둘째 부분은 정적분으로 원시함수를 정의하는 방법을 보여줍니다.
미적분의 기본정리, 제2부
F(t)F(t)를 다음과 같이 정의하겠습니다.
F(t)=∫t0tf(u) du.(11.27)F(t)=\int_{t_0}^{t}f(u)\,du.\tag{11.27}
그러면 F(t)F(t)의 도함수는 다음과 같습니다.
F′(t)=f(t).F'(t)=f(t).
짧고 우아한 이 표현을 해독하려면 노력이 들 수 있으니 말로 다시 설명하겠습니다. 주어진 함수 ff에서 시작합니다. 임의의 시작점 t0t_0부터 끝점 tt까지 ff를 정적분한 값으로 새로운 함수 FF를 만듭니다. FF의 인수는 ff의 적분을 언제 멈출지 정하는 데 쓰입니다.
변수 uu는 적분 안에서만 쓰이는 형식상의 더미 변수입니다. 둘째 기본정리는 이 새 함수 FF를 미분하면 원래 함수 ff가 나온다고 말합니다. 이런 의미에서 적분과 미분은 역연산입니다.
tt가 적분의 위쪽 끝점을 정하는, 이상해 보일 수 있는 자리에 들어가는 이유를 이해하기 어려울 수 있지만 그것이 핵심입니다. 둘째 정리는 식 (11.27)처럼 적분으로 정의한 함수가 피적분함수가 정하는 비율로 증가한다고 말합니다. 위쪽 끝점을 조금 바꾸면 전체 합의 변화량은 피적분함수 값에 비례합니다.
적분을 넓이 계산으로 보면 위쪽 끝점 tt가 오른쪽 경계를 정합니다. 그 경계를 오른쪽으로 조금 밀었을 때 늘어나는 넓이는 tt에서 함수의 높이에 달려 있습니다.
변위와 속도 표기로 다시 쓰겠습니다.
x(t)=∫t0tv(u) du,x′(t)=v(t).x(t)=\int_{t_0}^{t}v(u)\,du,\qquad x'(t)=v(t).
이제 v(t)v(t)로 변위 x(t)x(t)를 정의할 때 논리적으로 tt를 둘 자리는 하나뿐임을 알 수 있습니다. tt 이전의 속도는 그 시각까지 발생한 변위와 관련되지만, 이후의 이력은 관련이 없습니다. 따라서 tt로 적분할 속도 시간 범위의 끝을 정합니다.
t0t_0는 어디서 올까요? 알 수 없거나 중요하지 않은 초기 위치 x0x_0와 비슷하게, 불확실성 또는 자유도를 반영하는 임의의 시작점입니다. 측정의 기준으로 삼고 싶은 어떤 시각이든 선택할 수 있습니다. t0t_0는 x(t)=0x(t)=0이 되는 시점을 정합니다. 정확하게는 x(t)x(t)가 상대적인 위치라고 말하는 편이 낫습니다. 어디에 대한 상대 위치일까요? 시각 t0t_0에 우리가 있던 곳입니다.
이제 가끔 혼동되는 정적분과 부정적분의 관계를 정리할 준비가 되었습니다. ‘정적분’의 ‘정해졌다(definite)’는 말은 적분구간을 지정했다는 데서 옵니다. 그래서 답이 숫자 하나일 수 있습니다. 예를 들어 다음 정적분을 계산하면 tt는 ‘적분되어 없어지고’ 결과에 나타나지 않습니다.
∫tstarttendv(t) dt.\int_{t_{\mathrm{start}}}^{t_{\mathrm{end}}}v(t)\,dt.
뜻은 ‘tstartt_{\mathrm{start}}부터 tendt_{\mathrm{end}}까지 속도를 연속적으로 더한 것’입니다. 결과에 tt가 남으면 무슨 tt를 말하는지 알 수 없어 말이 되지 않습니다. 따라서 v(t)v(t)의 다른 변수들과 구간 양끝을 모두 알면 답은 숫자 하나로 줄어듭니다.
하지만 v(t)v(t)에 밀도 ρ\rho 같은 다른 미지수가 있거나 구간 끝점 자체가 매개변수라면 결과는 그런 변수들의 함수가 됩니다. 어느 경우든 적분 내부의 tt는 결과에 남지 않습니다. 프로그래머라면 이를 정적분의 ‘지역변수’로 생각해도 됩니다.
반면 부정적분(indefinite integral) 은 원시함수이므로 답이 숫자 하나가 아니라 함수입니다. 적분구간을 생략해 다음처럼 표시합니다.
∫v(t) dt.\int v(t)\,dt.
정적분 표기와 매우 비슷해 보여도 의미는 상당히 다르다는 점을 강조합니다. 결과는 숫자가 아니라 v(t)v(t)의 원시함수, 즉 tt의 함수여야 합니다. 또한 올바른 결과에는 적분상수(constant of integration) 라는 임의의 상수가 더해져야 합니다.
미분하면 v(t)v(t)가 되는 함수들이 하나의 집합을 이룬다는 사실을 상기시키기 때문입니다. 따라서 위 부정적분의 의미는 ‘알 수 없는 시작점부터 속도를 연속적으로 더한 값을 시간의 함수로 나타내는 어떤 함수’입니다. 이 상수 오프셋을 지금까지 x0x_0로 썼지만 일반적으로는 대문자 CC를 씁니다.
적분상수
∫v(t) dt=x(t)+x0[변위와 속도 표기],\int v(t)\,dt=x(t)+x_0\qquad[\text{변위와 속도 표기}],
∫f(t) dt=F(t)+C[흔한 추상 표기].\int f(t)\,dt=F(t)+C\qquad[\text{흔한 추상 표기}].
부정적분에 적분구간을 쓰지 않는 것은 그것이 암시되어 있기 때문입니다. 둘째 기본정리에서 보았듯 원시함수를 정적분으로 해석할 때는 원시함수의 인수를 적분구간의 위쪽 끝점으로 씁니다. 즉 부정적분은 식 (11.27) 형태에서 구간이 암시된 정적분이라고 원문은 설명합니다. 가능한 원시함수들의 집합을 연결하는 식 (11.27)의 자유도는 알 수 없는 아래쪽 끝점 t0t_0에 담겨 있었습니다.
부정적분에서는 구간을 쓰지 않고 대신 적분상수 x0x_0나 CC에 불확실성을 담습니다. 두 표기 방식으로 정리하면 다음과 같습니다. 아래는 원문 표기입니다.
부정적분
∫v(t) dt=∫t0tv(u) du=x(t)+x0,x0=−x(t0),\int v(t)\,dt=\int_{t_0}^{t}v(u)\,du=x(t)+x_0,\qquad x_0=-x(t_0),
∫f(t) dt=∫t0tv(u) du=F(t)+C,C=−F(t0).\int f(t)\,dt=\int_{t_0}^{t}v(u)\,du=F(t)+C,\qquad C=-F(t_0).
〔주36〕 이 말은 보통 인정되는 것보다 더 일반적으로 적용됩니다. 예를 들어 미적분을 배웠다면 ‘부분적분’이라는 기법이 사실 미분의 곱셈법칙을 거꾸로 쓴 것임을 알아볼 수 있습니다!
〔주37〕 『페리스의 해방』에서 배웠듯이 쉽게 되돌릴 수도 없습니다.
〔주38〕 적어도 이 목적에는 그렇습니다. 보증기간의 주행거리를 겨우 5마일 넘겼을 때 타이밍 체인이 끊어진다면 그 원래 숫자는 매우 중요합니다.
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원문 계산식 점검 · 식 (11.26)의 적분 변수
∫f(t) dx\int f(t)\,dx로 쓰인 부분은 tt에 대해 적분한다는 문맥에 맞추어 ∫f(t) dt\int f(t)\,dt로 읽습니다. 또는 함수와 미소변수를 모두 xx로 맞출 수 있습니다. 11.7.2 마지막 일반 함수 식의 적분함수 v(u)v(u)도 해당 문맥에서는 f(u)f(u)입니다.
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원문 계산식 점검 · 11.7.2 주행거리계와 적분상수
주행거리계의 증가량은 종료값에서 시작값을 뺍니다. 부정적분은 기준 원시함수에 상수 CC를 더해 표현하는 것이 안전합니다. 적분 하한을 바꾸는 것만으로 모든 상수를 언제나 표현할 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어 함수가 0이면 어느 두 하한 사이의 적분도 0입니다. 일반적으로 F(t)=∫t0tf(u) du+CF(t)=\int_{t_0}^{t}f(u)\,du+C를 사용하겠습니다.

11.7.3 미적분 정리

뒤의 절들에 나오는 작은 부분 몇 개를 제외하면 이 책의 주된 미적분 설명은 끝났습니다. 목표는 미적분을 전혀 모르는 독자가 도함수와 적분의 용도라는 큰 그림을 이해하도록 하는 것이었습니다. 실제 상황에 등장하는 수많은 세부사항과 기법은 빠르게 지나쳤습니다. 그 세부사항들은 미적분 교과서 수천 쪽을 채웁니다.
이 책의 나머지를 충분히 활용하기 위해 알아야 할 미적분의 중요 사항을 정리하겠습니다.
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도함수의 기본 목적은 변화율을 측정하는 것입니다.
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도함수는 극한 논증으로 정의합니다. 결과의 근삿값을 만들고, 오차가 0으로 다가가도록 근사를 점점 개선할 때 무슨 일이 일어나는지 봅니다.
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손으로 미분하는 규칙은 몇 가지만 소개했습니다. 미분은 선형 연산자이므로 합을 미분할 수 있습니다. 거듭제곱 규칙은 ddttn\frac d{dt}t^n 형태를 계산하는 법을 알려줍니다. 함께 사용하면 다항식을 미분할 수 있습니다. 사인·코사인·지수함수의 도함수도 소개했습니다. 연쇄법칙은 f(g(t))f(g(t)) 형태의 함수를 미분하는 법을 알려줍니다.
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적분은 ‘연속적인 합’ 또는 ‘누계’입니다. 이 합은 더하고 있는 함수의 그래프와 가로축 사이의 부호 있는 넓이와도 같습니다.
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리만 적분은 극한 논증으로 적분을 정의합니다. 많은 작은 요소의 합을 취하며, 요소 수가 유한하면 일반적으로 실제 합의 근사입니다. 요소 수를 무한대로 늘려 근사 오차가 사라질 때를 생각하면 실제 합을 얻습니다.
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리만 적분은 보통 도함수처럼 정의를 직접 풀어서 계산하지 않습니다. 지금 푸는 문제가 적분인지 알아보고 올바르게 식을 세우는 데 사용합니다. 수치적으로 풀 때의 기반이기도 하지만, 구체적인 방법은 아직 다루지 않았습니다.
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미적분의 기본정리는 적분과 미분이 역연산이라고 말합니다. 손으로 정적분을 계산할 때는 리만 합의 극한을 직접 구하는 대신 원시함수를 찾습니다. 인수가 적분의 위쪽 끝점을 정하도록 만든 함수는 피적분함수의 원시함수입니다.
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부정적분은 피적분함수의 원시함수인 함수입니다. 정적분은 정해진 구간에서 피적분함수를 연속적으로 더한 값을 나타내는 수를 만듭니다. 아무 원시함수나 선택해 시작점과 끝점에서 계산한 다음, 끝점 값에서 시작점 값을 빼면 정적분을 얻습니다. 원문은 부정적분을 적분구간이 암시된 정적분이라고 설명합니다.

11.8 등속 원운동 (Uniform Circular Motion)

미적분은 충분히 했으니 물리학으로 돌아가겠습니다. 이 절에서는 일정한 속력으로 원을 따라 움직이는 입자의 운동을 공부합니다. 입자의 운동을 다루는 이유는 강체를 이른바 질량중심(center of mass) 에 있는 점질량으로 표현하면 많은 물리 계산을 단순화할 수 있기 때문입니다.
원형 경로는 본질적으로 한 평면에 제한되므로 11.8.1절에서는 2차원에서 시작합니다. 기본 관계를 확립한 뒤, 11.8.2절에서는 궤도 평면이 3차원에서 임의의 방향을 향할 때 적용하는 법을 보여줍니다.

11.8.1 평면에서의 등속 원운동

일정한 속력으로 원을 도는 입자는 속도가 일정하지 않습니다. 속도가 일정하다면 직선으로 이동할 것이기 때문입니다. 속도가 시간에 따라 변하므로 어떤 가속도를 받고 있어야 합니다. 무엇인지 알아낼 수 있을까요? 반지름 rr의 원형 경로를 일정한 속력 ss로 움직이는 물체를 생각하겠습니다.
계산을 쉽게 하려고 일반성을 잃지 않고 운동 평면 안에 원점을 원 중심에 둔 2차원 기준계를 정합니다. 입자의 순간속도 v(t)\mathbf v(t)는 항상 궤적에 접하므로 어느 점에서든 속도 벡터는 그 점의 원에 접합니다. 또한 속력의 정의로부터 ∥v(t)∥=s\|\mathbf v(t)\|=s입니다.
그림 11.14
그림 11.14. 등속 원운동.
그림 11.14의 왼쪽에는 유한한 시간 간격 Δt\Delta t 동안 등속 원운동하는 입자가 있습니다. 시각 tt와 나중 시각 t+Δtt+\Delta t의 상태를 함께 살펴봅니다.
기하학적인 접근으로 순간속도와 가속도를 생각하겠습니다. 그림 오른쪽의 삼각형들을 보겠습니다. 위 삼각형은 각도 변화 Δθ\Delta\theta로 인해 시간 구간 Δt\Delta t 동안 생긴 위치 변화를 나타냅니다. 두 빗변의 길이가 원의 반지름 rr인 이등변삼각형이며, 밑변은 구간의 순위치 변화 Δp\Delta\mathbf p입니다.
아래 삼각형은 같은 구간의 속도 변화를 나타내며 역시 이등변삼각형입니다. 속도 크기가 일정하다고 가정했으므로 두 변의 길이는 ss이고 밑변은 Δv\Delta\mathbf v입니다. 두 삼각형은 끼인각이 Δθ\Delta\theta인 이등변삼각형이므로 서로 닮았습니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
∥Δv∥s=∥Δp∥r.\frac{\|\Delta\mathbf v\|}{s}=\frac{\|\Delta\mathbf p\|}{r}.
일반적으로 Δp\Delta\mathbf p의 길이는 원 둘레를 따라 실제로 이동한 거리 rΔθ=sΔtr\Delta\theta=s\Delta t가 아니라 원 안을 가로지르는 ‘지름길’의 길입니다. 하지만 그림 11.15처럼 Δt\Delta t와 Δθ\Delta\theta가 매우 작아지면 어떻게 되는지 보겠습니다.
그림 11.15
그림 11.15. 작은 회전.
Δθ\Delta\theta가 점점 작아지면 Δp\Delta\mathbf p의 길이는 실제 이동거리에 가까워지고, 극한에서는 두 거리가 같아집니다. 원문은 이를 다음과 같이 표시합니다.
lim⁡Δt→0∥Δp∥=sΔt.\lim_{\Delta t\to0}\|\Delta\mathbf p\|=s\Delta t.
닮은삼각형에서 얻은 결과에 넣으면 다음과 같습니다.
∥Δv∥s=∥Δp∥r,\frac{\|\Delta\mathbf v\|}{s}=\frac{\|\Delta\mathbf p\|}{r},
lim⁡Δt→0∥Δv∥s=sΔtr,\lim_{\Delta t\to0}\frac{\|\Delta\mathbf v\|}{s}=\frac{s\Delta t}{r},
lim⁡Δt→0∥Δv∥Δt=s2r.(11.28)\lim_{\Delta t\to0}\frac{\|\Delta\mathbf v\|}{\Delta t}=\frac{s^2}{r}.\tag{11.28}
식 (11.28)의 왼쪽은 구간 길이가 0으로 갈 때의 단위 시간당 속도 변화입니다. 바로 순간가속도의 정의입니다! 따라서 가속도의 크기는 s2/rs^2/r입니다.
물론 가속도는 벡터이며, 지금까지 알아낸 것은 일정한 크기뿐입니다. 방향은 어떨까요? 그림 11.15에서 p(t)\mathbf p(t)와 Δv\Delta\mathbf v를 비교해 보겠습니다. 서로 반대쪽을 향합니다. 실제로 Δθ\Delta\theta가 0으로 가는 극한에서는 정확히 반대 방향입니다. 즉 가속도는 항상 원의 중심을 향합니다. 그래서 ‘중심을 찾는’이라는 뜻의 구심가속도(centripetal acceleration) 라고 부릅니다.
등속 원운동의 속도와 가속도
반지름 rr의 원형 경로를 일정한 속력 ss로 움직이는 물체의 속도 v\mathbf v는 원에 접합니다. 어느 순간이든 가속도는 원의 중심을 향하며 크기는 다음과 같습니다.
a=s2/r.(11.29)a=s^2/r.\tag{11.29}
초등 기하학과 미적분 개념을 조금 결합해 등속 원운동의 가장 중요한 사실을 얻었습니다. 조금 다른 방식으로 결합하면 실제 운동방정식도 구할 수 있습니다. 이를 위해 그림 11.16처럼 전통적인 수학 규칙에 따라 위치 벡터 p\mathbf p가 +x+x축과 이루는 각을 θ(t)\theta(t)라고 하겠습니다.
그림 11.16
그림 11.16. 각도 θ\theta로 입자 위치를 정할 수 있습니다.
앞에서는 각의 변화 Δθ\Delta\theta에 관심이 있었지만 이제 시간에 따른 각도 자체를 봅니다. 초기 각도는 θ(0)=θ0\theta(0)=\theta_0라고 합니다. 초당 라디안으로 측정하는 각진동수(angular frequency) 를 ω=s/r\omega=s/r로 정의하겠습니다.〔주39〕 그러면 임의의 시각의 각도는 다음과 같습니다.
시간의 함수로 나타낸 각도
θ(t)=θ0+ωt.\theta(t)=\theta_0+\omega t.
9.1절에서 원의 매개변수 방정식을 보았으므로, 반지름 rr과 각도 θ(t)\theta(t)로 입자 위치의 운동방정식을 나타내는 방법을 알고 있습니다.
시간의 함수로 나타낸 위치
x(t)=rcos⁡θ(t)=rcos⁡(θ0+ωt),y(t)=rsin⁡θ(t)=rsin⁡(θ0+ωt).x(t)=r\cos\theta(t)=r\cos(\theta_0+\omega t),\qquad y(t)=r\sin\theta(t)=r\sin(\theta_0+\omega t).
속도 함수는 위치 함수의 도함수이므로 미분해서 속도식을 얻을 수 있습니다. 다행히 11.4.6절에서 사인·코사인의 도함수를, 11.4.7절에서 연쇄법칙을 배웠습니다. 미분하면 다음과 같습니다.
시간의 함수로 나타낸 속도
x˙(t)=ddt(rcos⁡(θ0+ωt))=−rωsin⁡(θ0+ωt),\dot x(t)=\frac d{dt}\bigl(r\cos(\theta_0+\omega t)\bigr)=-r\omega\sin(\theta_0+\omega t),
y˙(t)=ddt(rsin⁡(θ0+ωt))=rωcos⁡(θ0+ωt).\dot y(t)=\frac d{dt}\bigl(r\sin(\theta_0+\omega t)\bigr)=r\omega\cos(\theta_0+\omega t).
한 번 더 미분하면 가속도를 얻습니다.
시간의 함수로 나타낸 가속도
x¨(t)=ddt(−rωsin⁡(θ0+ωt))=−rω2cos⁡(θ0+ωt),\ddot x(t)=\frac d{dt}\bigl(-r\omega\sin(\theta_0+\omega t)\bigr)=-r\omega^2\cos(\theta_0+\omega t),
y¨(t)=ddt(rωcos⁡(θ0+ωt))=−rω2sin⁡(θ0+ωt).\ddot y(t)=\frac d{dt}\bigl(r\omega\cos(\theta_0+\omega t)\bigr)=-r\omega^2\sin(\theta_0+\omega t).
결과는 앞의 발견과 일치합니다. 가속도 함수와 위치 함수를 비교하면 정말 반대 방향을 가리킵니다. 또한 ω=s/r\omega=s/r임을 떠올리면 예측대로 가속도 크기가 s2/rs^2/r임을 확인할 수 있습니다.
때로는 ss보다 ω\omega를 바로 알기 쉽습니다. 그럴 때는 구심가속도의 크기를 ω,r\omega,r만으로 표현하면 유용합니다. ω=s/r\omega=s/r를 ss에 대해 풀면 s=rωs=r\omega입니다. 식 (11.29)에 넣으면 다음과 같습니다.
각속력 ω\omega와 반지름 rr로 나타낸 가속도
a=s2/r=(rω)2/r=rω2.(11.30)a=s^2/r=(r\omega)^2/r=r\omega^2.\tag{11.30}
뒤에서 유용하게 쓸 흥미로운 예를 풀어 보겠습니다. 우리는 지금 모두 회전하는 원심분리기, 지구에 타고 있습니다! 지구 자전은 겉보기 원심력을 만들어 우리를 지구 중심에서 바깥으로 던지려 합니다. 다행히 지구 중력이 충분히 강해 우리를 붙잡아 둡니다. 지구 평균 반지름이 6,371 km일 때 적도에서 받는 구심가속도는 얼마일까요?
식 (11.30)을 사용하겠습니다. 반지름은 r=6371 kmr=6371\,\mathrm{km}, 회전율은 ω=2π/day\omega=2\pi/\mathrm{day}입니다.
지구 자전에 따른 적도의 구심가속도
a=rω2=(6371 km)(2π/day)2=(6.371×106 m)(2π/(86400 s))2≈(6.371×106 m)(5.2885×10−9 s−2)≈0.03369 m/s2.\begin{aligned} a=r\omega^2 &=(6371\,\mathrm{km})(2\pi/\mathrm{day})^2\\ &=(6.371\times10^6\,\mathrm m)(2\pi/(86400\,\mathrm s))^2\\ &\approx(6.371\times10^6\,\mathrm m)(5.2885\times10^{-9}\,\mathrm{s^{-2}})\\ &\approx0.03369\,\mathrm{m/s^2}. \end{aligned}
극지방의 구심가속도 크기는 어떨까요? 같을까요? 이 질문을 기억해 두겠습니다. 12.2.1절에서 돌아옵니다.
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왜 원운동에는 가속도가 있는가?
자동차의 속도계가 계속 10 m/s를 가리켜도 자동차가 원형 트랙을 달리면 속도 벡터의 방향은 계속 변합니다. 가속도는 속력의 변화만이 아니라 속도 벡터의 변화이므로 중심 쪽 가속도가 필요합니다.
반지름 5 m 원을 10 m/s로 돌 때 ac=s2/r=20 m/s2a_c=s^2/r=20\,\mathrm{m/s^2}입니다. 같은 반지름에서 속력이 두 배가 되면 필요한 구심가속도는 네 배입니다. 여기서 ‘구심가속도’는 새로운 종류의 힘을 뜻하지 않습니다. 차량에서는 마찰 등 실제 힘들의 합이 이 방향의 가속도를 만들어야 합니다. 회전하는 물체의 점 속도를 구할 때는 v=ω×r\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r를 씁니다. 오른손 좌표계의 외적과 각속도 축 방향을 함께 일관되게 정해야 합니다.
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원문 계산식 점검 · 11.8 극한과 주기
원문이 짧은 이동거리와 속력을 연결할 때 의도한 정확한 형태는 lim⁡Δt→0∥Δp∥/∣Δt∣=s\lim_{\Delta t\to0}\|\Delta\mathbf p\|/|\Delta t|=s입니다. 각주 39의 2πr/s2\pi r/s는 초당 회전수가 아니라 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간, 즉 주기입니다. 진동수는 f=s/(2πr)f=s/(2\pi r), 각속력은 ω=2πf=s/r\omega=2\pi f=s/r입니다.

11.8.2 3차원에서의 등속 원운동

지금까지는 본질적으로 2차원, 즉 ‘평면 안’에서 작업했고 그 평면이 3차원에서 어떤 방향인지 신경 쓰지 않았습니다. 이제 더 일반적인 경우를 생각하겠습니다. 원형 경로가 놓인 평면에 수직인 회전축이 임의의 방향을 가리킬 때, 입자의 위치·속도·가속도를 3차원 벡터로 기술하고 싶습니다.
위치 p\mathbf p의 입자가 점 o\mathbf o를 중심으로 원형 경로를 따라 움직인다고 하겠습니다. 원문은 o,p\mathbf o,\mathbf p를 포함하는 원형 경로가 여럿이라고 표현하며, 따라서 평면에 수직인 회전축도 지정해야 한다고 설명합니다. 앞 장들(5.1.3절과 8.4절)에서처럼 축 방향을 단위벡터 n^\hat{\mathbf n}으로 나타냅니다.
이전처럼 n^\hat{\mathbf n}의 부호는 왼손 법칙에 따라 어느 방향을 양의 회전으로 볼지 알려줍니다. 스칼라 ω\omega는 단위 시간당 라디안으로 회전율을 정의합니다. 답하려는 질문은 “그 순간 입자의 속도 v\mathbf v는 무엇일까요?”입니다.
그림 11.17
그림 11.17. 3차원에서의 등속 원운동.
이미 아는 것을 복습하겠습니다. 첫째, 앞에서 본 속력과 각진동수의 관계에 따라 s=∥v∥s=\|\mathbf v\|는 ωr\omega r이어야 합니다. rr은 원의 반지름, 즉 o\mathbf o와 p\mathbf p 사이 거리입니다. 둘째, v\mathbf v는 n^\hat{\mathbf n}에 수직이어야 합니다.
그렇지 않으면 입자가 원형 경로의 평면을 벗어납니다. 또한 v\mathbf v는 경로에 접해야 합니다. 따라서 속도의 크기와 방향은 둘 다 알고 있고, 이를 대수적으로 표현하는 방법만 필요합니다. o\mathbf o에서 p\mathbf p로 향하는 반지름 벡터 r=p−o\mathbf r=\mathbf p-\mathbf o를 도입하겠습니다.
그림 11.17처럼 r\mathbf r은 회전 평면 안에 있고 길이는 일정하며, 원형 경로의 반지름과 같습니다.
v\mathbf v는 경로에 접하므로 r\mathbf r에 수직이고, 궤도 평면 안에 있으므로 n^\hat{\mathbf n}에도 수직입니다. 주어진 두 벡터 모두에 수직인 벡터를 계산하는 도구를 기억하시나요? 외적입니다. 그렇다면 n^×r=v\hat{\mathbf n}\times\mathbf r=\mathbf v일까요? 방향은 맞습니다.〔주40〕 하지만 길이도 보겠습니다. 2.12.2절에서 외적의 길이는 두 입력 벡터의 크기의 곱에 사이각의 사인을 곱한 것이라고 했습니다.
n^\hat{\mathbf n}은 단위벡터이고 두 벡터는 수직이므로 사이각의 사인은 1입니다. 따라서 외적 n^×r\hat{\mathbf n}\times\mathbf r의 길이는 단순히 ∥r∥\|\mathbf r\|입니다. 올바른 속력은 ωr=ω∥r∥\omega r=\omega\|\mathbf r\|이므로 ω\omega 한 인수만 빠져 있습니다.
이를 합하면 반지름 벡터 r=p−o\mathbf r=\mathbf p-\mathbf o인 입자가 축 n^\hat{\mathbf n}을 중심으로 단위 시간당 ω\omega라디안으로 회전할 때의 속도 공식이 나옵니다.
각속도로부터 점의 선속도 계산하기
v=ωn^×r.\mathbf v=\omega\hat{\mathbf n}\times\mathbf r.
8.4절에서 설명했듯 각속도는 흔히 지수 사상 형식의 단일 벡터 ω=ωn^\boldsymbol\omega=\omega\hat{\mathbf n}로 나타냅니다. 굵은 ω\boldsymbol\omega는 벡터임을 뜻합니다. 그러면 식은 더욱 간단합니다.
각속도로부터 점의 선속도 계산하기
v=ω×r.(11.31)\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r.\tag{11.31}
반대 문제를 생각하겠습니다. p,v\mathbf p,\mathbf v를 알고 있고 o\mathbf o에 대한 각속도를 재고 싶습니다. 다시 외적을 사용할 수 있지만 이번에는 올바른 길이를 얻으려면 나누기가 필요합니다.
임의의 점에 대한 입자의 각속도
ω=r×v∥r∥2.(11.32)\boldsymbol\omega=\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{\|\mathbf r\|^2}.\tag{11.32}
∥r∥2\|\mathbf r\|^2로 나누는 이유를 이해하려면 중심을 기준으로 회전하는 단단한 원판 위 두 점을 생각하겠습니다. 각속도는 그 중심에 대해 측정합니다. 한 점의 반지름 벡터는 r\mathbf r이고 다른 점은 krk\mathbf r입니다. 중심에서 같은 방향에 있지만 거리는 kk배입니다.
이 두 점, 사실 원판의 모든 점은 같은 각속도를 가져야 합니다. 따라서 반지름을 바꿀 때 r\mathbf r이 달라지는 것을 보상하려고 ∥r∥\|\mathbf r\|로 한 번 나누어야 합니다. 추가로 한 번 더 나누는 것은 바깥쪽 점의 속도가 더 크기 때문입니다. 원판 위에서 r\mathbf r을 kk배로 바꾸면 새 점의 속도도 kk배가 됩니다.
지금까지는 p\mathbf p가 실제로 o\mathbf o 주위를 돈다고 가정했지만 그렇지 않을 수도 있습니다. 다른 점을 중심으로 돌거나 직선으로 움직일 수도 있습니다. 그래도 o\mathbf o에 대한 p\mathbf p의 각속도를 계산할 수 있습니다. 본질적으로 식 (11.32)는 p\mathbf p가 r,v\mathbf r,\mathbf v를 포함하는 평면 안에서 정말로 o\mathbf o 주위를 돈다면 각속도가 무엇일지 알려줍니다.
ω\boldsymbol\omega와 평행한 회전축은 그 평면에 수직입니다. 다만 작은 문제가 하나 있습니다. 실제로 원을 돈다면 r,v\mathbf r,\mathbf v가 수직이어야 하지만, 일반적으로는 아닐 수 있습니다. 식 (11.32)의 외적은 r\mathbf r과 평행한 속도 성분을 사실상 버립니다. 수직인 성분만 결과에 기여합니다.
입자 p\mathbf p가 정말 일정한 속력으로 o\mathbf o를 돌고 있다면 식 (11.32)의 각속도는 일정합니다. 하지만 일반적으로 임의의 점에 대해 잰 각속도는 일정하지 않습니다. 예를 들어 선속도가 일정한 입자를 생각하겠습니다. 고정점 o\mathbf o에 대한 각속도는 입자가 가까워질수록 커지고, 가장 가까워지는 지점에서 최대가 된 뒤 감소합니다.
또한 입자가 궤도를 따라 움직이더라도 원문의 등속 원운동 문맥에서 각속도가 일정한 것은 궤도 중심에 대해 측정할 때입니다.
3차원 궤도 운동에서 특히 중요한 예는 한 축을 중심으로 회전하는 강체에 붙은 입자입니다. 회전축과 p\mathbf p의 원형 궤도 평면이 만나는 곳을 o\mathbf o로 고르겠습니다. 그러면 r\mathbf r은 회전축에 수직입니다. 이 가정에서는 식 (11.32)로 계산한 공전 각속도가 모든 입자에서 같고, 강체의 자전 각속도와도 같습니다. 다음 장에서 더 이야기합니다.
궤도 중심이 아닌 다른 점에 대한 각속도를 계산할 필요는 흔하지 않습니다. 다만 식 (11.31)은 공전 각속도에서 점의 선속도를 구하는 데 자주 씁니다. 그렇다면 왜 이런 설명을 했을까요? 임의의 위치에 임의의 방향으로 가해지는 힘의 토크(torque) 를 측정하는 방법과 계산이 비슷하기 때문입니다(12.5절 참고).
〔주39〕 오메가 ω\omega는 각진동수에 전통적으로 쓰는 문자입니다. s/rs/r이 어디서 나오는지 보려면 원주가 2πr2\pi r이고 이 거리를 속력 ss로 이동한다는 점을 생각하겠습니다. 원문은 이때 각진동수가 ‘초당 2πr/s2\pi r/s회전’이라고 설명합니다.
한 회전은 2π2\pi라디안이므로 2π2\pi 인수가 약분된다는 것이 설명의 취지입니다. 이는 각도의 수치값 자체보다 기호로 계산할 때 라디안이 편리한 이유를 보여줍니다. 원문의 주기·진동수 역수 오기는 보충 설명에서 구분합니다.
〔주40〕 그림 11.17만 믿지 말고 왼손으로 확인하겠습니다. 엄지는 첫 번째 인수 n^\hat{\mathbf n}, 검지는 두 번째 인수 r\mathbf r, 중지는 결과 v\mathbf v입니다. 엄지가 자신을 향하도록 손을 본 뒤, 엄지를 축으로 중지인 v\mathbf v 방향으로 손을 돌려 보겠습니다. 입자는 검지 끝에 있습니다. 자신의 시점에서 시계 방향으로 돌며, 이것이 왼손 법칙에 따른 양의 회전입니다.
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원문 계산식 점검 · 식 (11.32)의 조건
r×v/∥r∥2\mathbf r\times\mathbf v/\|\mathbf r\|^2는 r≠0\mathbf r\ne\mathbf0일 때 쓰며, 이 원운동 모형에서 ω⊥r\boldsymbol\omega\perp\mathbf r라는 조건이 있습니다. 일반적인 한 점의 속도만으로는 r\mathbf r와 평행인 각속도 성분까지 알아낼 수 없습니다.

11.9 연습문제 (Exercises)

정답은 원서 인쇄 쪽수 781쪽부터, 제공 PDF의 802페이지부터에 있습니다.
1. 파스칼은 제곱미터당 1뉴턴으로 정의하는 압력 단위입니다. 1파스칼은 몇 psi일까요? psi는 제곱인치당 1파운드의 힘입니다.
2. 입자의 1차원 위치를 다음 조각별 함수로 나타냅니다.
x(t)={2t−t2,0≤t<2,0,2≤t<4,sin⁡(πt),4≤t<7,7−t,7≤t.x(t)=\begin{cases} 2t-t^2,&0\le t<2,\\ 0,&2\le t<4,\\ \sin(\pi t),&4\le t<7,\\ 7-t,&7\le t. \end{cases}
입자 운동의 그래프를 그려 보세요.
3. 연습문제 2의 입자는 다음 구간에서 평균속도가 얼마일까요?
(a) t=0…1t=0\ldots1
(b) t=1…2t=1\ldots2
(c) t=0…2t=0\ldots2
(d) t=5.5…6.5t=5.5\ldots6.5
(e) t=0…9t=0\ldots9
4. 연습문제 2의 입자가 시각 tt에 가지는 속도를 나타내는 비슷한 조각별 함수 v(t)v(t)를 써 보세요. 조각 사이의 ‘접합점’에서는 속도가 정의되지 않으므로 각 조각 내부만 고려해 보세요. 안타깝게도 이것은 생략해야 했던 세부사항 중 하나입니다.
5. 연습문제 2의 입자는 다음 시각에 순간속도가 얼마일까요?
(a) t=0.1t=0.1
(b) t=1.0t=1.0
(c) t=1.9t=1.9
(d) t=4.1t=4.1
(e) t=5t=5
(f) t=6.5t=6.5
(g) t=8t=8
(h) t=9t=9
6. 연습문제 2의 입자가 시각 tt에 가지는 가속도를 나타내는 비슷한 조각별 함수 a(t)a(t)를 써 보세요. 이번에도 접합점은 신경 쓰지 않아도 됩니다.
7. 다음 시각의 입자 가속도는 얼마일까요?
(a) t=0.1t=0.1
(b) t=1.0t=1.0
(c) t=1.9t=1.9
(d) t=4.1t=4.1
(e) t=5t=5
(f) t=6.5t=6.5
(g) t=8t=8
(h) t=9t=9
8. 식 (11.16)의 판별식이 음수여서 복소수 해가 나오는 것은 어떤 물리 상황을 뜻하나요? 판별식이 0이어서 해가 하나뿐이면 어떨까요?
9. 발사체를 초기 위치 p0=(0 ft,10 ft)\mathbf p_0=(0\,\mathrm{ft},10\,\mathrm{ft})에서 초기속력 150 ft/s150\,\mathrm{ft/s}, 발사각 40도로 쏩니다.
(a) 초기속도를 벡터로 나타내 보세요.
(b) 최고점에 도달하는 시각은 언제일까요?
(c) 최고점에서 발사체의 좌표는 무엇일까요?
(d) 다시 y=10y=10 고도로 돌아오는 데 얼마나 걸릴까요?
(e) 그 시각까지의 수평변위는 얼마일까요?
10. 11.6절의 포물체 운동 설명 끝에서 가속도가 임의의 벡터 a\mathbf a일 때 교차 시각을 구하는 문제를 제기했습니다. 식 (11.18)의 양변을 a\mathbf a와 내적하고 tt에 대해 풀어 보세요. 앞에서처럼 근의 공식을 사용해 보세요.
11. eixe^{ix} 같은 복소 지수함수는 미분방정식, 제어 시스템, 신호처리에서 매우 중요합니다. 여기서 ii는 i2=−1i^2=-1인 허수입니다. 지수 자리에 복소수를 넣는 것이 이상해 보이지만 오일러 공식은 의미 있는 해석을 줍니다. 그 해석을 알아내려면 wikipedia.com에 가서 찾아봐도 됩니다. 그래서 어차피 답을 책 뒤에 실었습니다. 하지만 그러기 전에 eixe^{ix}의 테일러 급수를 전개하고 스스로 알아낼 수 있는지 보겠습니다. 그다음 온라인에서 이 식의 놀라운 중요성을 읽어 보세요.
12. 국제우주정거장이 지표면에서 약 340 km 높이로 지구를 돈다고 하겠습니다. 원문 집필 당시의 근삿값을 사용한 문제입니다. 실제 궤도는 타원이지만 이를 무시하고 등속 원운동한다고 가정합니다. 평균속력이 약 27,740 km/hr일 때 공전주기는 얼마일까요? m/s2\mathrm{m/s^2}로 나타낸 구심가속도는 얼마일까요? 신중히 생각해 보세요!
물론 수학자들은 그 모든 수를 어떻게 적는지 안다. 언젠가 수학책에서 그것들을 고급스럽고 우아한 형태로 쓰는 법을 읽을 수 있다. 하지만 먼저 자신이 무엇을 적으려 하는지 대략적으로나마 알아두는 것이 좋다. — Richard Feynman(1918~1988), 『파인만의 물리학 강의』
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원문 계산식 점검 · 연습문제 12의 입력값
국제우주정거장의 높이와 속력은 원서가 문제의 조건으로 제시한 값입니다. 현재 운용 상태를 나타내는 자료로 읽지 말고, 이 문제 안에서 지정된 근삿값으로 계산합니다.

직접 확인하기

초기속도·가속도·시간을 바꾸어 위치 그래프의 접선과 속도의 관계를 확인해 보세요.
Fletcher Dunn · Ian Parberry, 《3D Math Primer for Graphics and Game Development, 2nd Edition》, 11장. 원서 그림과 자료.