이제 입자에 관해 배운 개념을 강체로 확장할 준비가 되었습니다. 입자에는 위치가 있지만 지금까지는 자세를 신경 쓰지 않았습니다. 마찬가지로 입자에는 질량이 있지만 크기와 모양, 그 질량이 어떻게 분포하는지도 생각하지 않았습니다. 주요 선형 물리량과 법칙에는 각각 회전에 대응하는 개념이 있으며, 둘 사이에는 아름다운 대응 관계가 있습니다.
이 대응은 가르치고 배우기에도 편리하므로 설명에 활용하겠습니다. 선형 동역학 때처럼 먼저 기본적인 운동학 물리량을 정의하고, 회전의 원인은 생각하지 않은 채 회전을 서술하는 문제들을 살펴봅니다. 그다음 질량·힘·운동량에 대응하는 회전의 개념들을 살펴봅니다. 다만 이번에는 순서를 다르게 하겠습니다.
이 절은 선형 운동에 대한 설명이나 다른 자료의 비슷한 설명과 비교하면 놀랄 만큼 짧게 느껴질 수 있습니다. 이유는 두 가지입니다. 첫째, 앞장에서 도함수와 선형 동역학에 대한 직관을 쌓는 데 상당한 시간을 썼으므로 여기서 반복할 필요가 없습니다. 다만 각변위를 적분할 때 중요한 차이가 몇 가지 있습니다.
둘째, 전통적인 물리학 책에서는 보통 이 설명에 묶어 넣는 선행 지식들을 이 책에서는 다른 곳에 배치하는 편이 더 적절했습니다. 나머지를 읽기 전에 그 선행 내용을 읽고 이해했는지 확인해 주세요. 특히 2.12절에서 다룬 외적과 8장의 주제였던 3차원 회전 표현의 기본 방법들을 사용합니다.
12.5.1 회전 운동학
11장은 선형 운동학을 다뤘습니다. 입자의 위치를 시간의 함수로 나타내는 를 생각했습니다. 그 일차·이차 도함수인 속도와 가속도 함수도 살펴보았으며, 각각 , 로 썼습니다. 위치에 대응하는 회전 개념은 물론 자세(orientation)입니다.
물체의 자세를 표현하는 방법은 여러 가지입니다. 8장에서 많은 지면을 써서 그 방법들을 설명하고 비교했으므로, 이 장에서는 기본 내용을 알고 있다고 가정합니다. 강체 시뮬레이터에서는 자세의 같은 정보를 서로 다른 형식으로 중복하여 보관하는 경우가 흔합니다. 보통 쿼터니언과 회전행렬을 함께 유지합니다.
여기서도 표기에 비슷한 방침을 적용합니다. 를 시각 의 물체 공간에서 직립 공간으로 가는 회전행렬이라고 하겠습니다. 물체의 자세를 행렬로 표현한 것입니다. 같은 회전을 쿼터니언으로 나타낸 것은 라고 합니다. 두 함수는 같은 값을 표현하지만 서로 다른 ‘자료형’입니다.
선속도와 선가속도에 대응하는 개념은 각속도(angular velocity) 와 각가속도(angular acceleration)입니다. 각각 , 로 씁니다. 둘 다 3차원 벡터이며, 원한다면 무한소 지수 사상이라고 생각해도 됩니다. 8.4절을 참고하겠습니다.
선속도는 위치의 시간 도함수로 정의할 수 있었지만 자세에서는 조금 더 복잡합니다. 일반적으로 는 어떤 형식의 자세에 대해서도 그 도함수가 아닙니다. 지수 사상으로 표현해도 마찬가지입니다. 각에 관련된 값의 도함수가 실제로 무엇인지 다루는 12.6.4절에서 더 설명하겠습니다.
따라서 먼저 각속도를 어떻게 표현하고 측정하는지 알아야 합니다. 이는 3차원 회전이 위치보다 복잡해서만이 아니라 조금 다른 두 종류의 각속도가 있기 때문에도 까다롭습니다. 첫 번째는 자전 각속도(spin angular velocity), 두 번째는 공전 각속도(orbital angular velocity)입니다.
자전 각속도는 물체 자세의 변화율을 나타내며 물체의 평행이동에 영향받지 않습니다. 공전 각속도는 자세와 전혀 관계없습니다. 다른 점 주위를 도는 궤도를 따라 물체의 위치가 변하는 비율을 측정합니다. 공전 각속도는 이미 11.8.2절에서 소개했으므로 그 절을 건너뛰었다면 지금 복습하면 좋습니다.
자전 각속도와 공전 각속도의 관계를 보기 위해 예를 하나 생각하겠습니다. 공간에 고정된 질량중심 를 중심으로 물체가 회전하고 있습니다. 이 회전을 표현하려면 두 가지를 지정해야 합니다. 먼저 회전의 방향입니다. 회전축에 평행한 단위벡터 을 정하고, 그 부호와 왼손 법칙을 함께 이용해 양의 회전 방향을 정합니다.
은 축의 방향만 알려줍니다. 축의 위치는 질량중심 를 지난다는 가정에서 나옵니다. 회전을 나타내는 다른 요소는 물론 회전율입니다. 단위 시간당 라디안으로 측정하고 스칼라 로 씁니다. 이제 강체의 자전 각속도를 각속도 벡터 —굵은 글씨에 주의해 주세요—로 정의할 수 있습니다.
회전율에 축을 곱하면 됩니다.
지수 사상을 설명한 8.4절과 입자의 등속 원운동 및 공전 각속도를 설명한 11.8.2절을 읽었다면 익숙한 개념일 것입니다. 그렇다면 자전 각속도와 공전 각속도의 연결도 벌써 보일 수 있습니다.
자전 각속도와 공전 각속도
강체의 자전 각속도는 강체 위 모든 점의 공전 각속도와 같습니다.
공전 각속도를 이야기할 때는 어떤 점 를 기준으로 측정하는지 분명히 해야 합니다. 질량중심 를 기준으로 측정하는 것이 아니다! 실제로 공전의 중심이 되는 점을 기준으로 측정합니다. 물체의 ‘적도’에 있는 점들만 실제로 주위를 돕니다. 다른 임의의 점은 그림 12.16처럼 회전축 위의 점 를 중심으로 돕니다.
그림 12.16
그림 12.16. 를 신중하게 선택하면 로봇의 자전 각속도는 로봇 위 모든 점의 공전 각속도와 같습니다.
눈치 빠른 독자는 방금 정의에 순환성이 있다는 점을 알아챘을 수 있습니다. 회전축 위에서 가장 가까운 점을 기준으로 측정한다면 강체의 자전 각속도는 모든 점의 공전 각속도와 같다고 했습니다. 하지만 회전축은 애초에 어떻게 알았을까요? 이 질문은 보통 별 의미가 없습니다. 해석적인 운동학 식에서도 컴퓨터의 디지털 시뮬레이션에서도 각속도 벡터 는 추적하는 기본 상태변수 중 하나이므로, 점들의 속도로부터 추론할 필요가 없기 때문입니다.
그래도 부호를 반대로 바꾸는 경우를 제외하면 축은 유일하게 결정된다는 점을 말해 둘 만합니다. 회전축은 공전하는 입자의 속도에 수직임을 기억하겠습니다. 강체의 질량중심이 움직이고 있다면 입자의 속도는 질량중심을 기준으로 측정해야 합니다. 모든 입자의 모든 속도에 동시에 수직인 방향은 하나뿐이며 그것이 회전축입니다.
질량중심을 지나는 축 주위로 회전하는 물체라는 ‘간단한 예’에서 시작했지만, 순간속도를 생각한다면 사실 이것이 일반적인 경우입니다. 단순화한 것은 질량중심을 고정한 것뿐이며, 일반적으로 물체는 회전과 동시에 평행이동할 수 있습니다. 공간에서 이리저리 구르는 물체를 상상하면, 축의 방향이 임의일 수는 있어도 항상 질량중심을 지나는 축 주위로 회전한다는 사실이 다소 놀랍습니다.
곧 설명할 토크(torque) 라고 하는 회전을 유발하는 힘을 물체가 받으면 유도된 회전은 항상 질량중심 주위에서 일어납니다. 실제로 질량중심을 지나지 않는 축을 중심으로 회전시키려면 어떤 형태의 구속력이 계속 필요합니다. 원문은 외부 토크가 없을 때—예를 들어 구속력을 제거했을 때—물체가 질량중심을 지나는 축으로 회전하고 각속도가 일정하여 축의 방향과 회전율이 바뀌지 않는다고 설명합니다.
일반적인 비대칭 강체에 대한 이 설명의 적용 조건은 별도 보충 해설에서 구분합니다. 토크에 관한 이야기는 조금 앞서갔지만, 이런 각속도의 상황이 우리가 이해해야 할 유일한 상황임을 분명히 하고 싶었습니다.
물론 토크가 물체에 작용하면 회전축과 회전율은 시간에 따라 바뀝니다. 따라서 각가속도를 생각하게 되며, 이는 로 쓰는 벡터 물리량입니다. 선형 운동과의 유사성에서 단순히 유추한 것과 달리, 각속도는 자세의 도함수가 아니었습니다. 하지만 각가속도에서는 그 유사성이 성립합니다. 각가속도는 각속도의 벡터 시간 도함수입니다.
선형 식 와의 유사성이 분명합니다.
원문 표현과 구현 조건
12.5.1의 ‘모든 점의 공전 각속도’는 회전축에서 떨어진 점들에 직접 적용합니다. 회전축 위의 점은 원 궤도의 반지름이 0이어서 점 속도만으로 각속도를 역산할 수 없습니다.
12.5.2 2차원 회전 동역학
지금까지 필요한 간단한 운동학 물리량을 정의했습니다. 주로 표기를 정하고 다른 곳에서 배운 개념을 다시 활용한 것이었습니다. 이제 회전의 동역학을 생각해 보겠습니다. 먼저 상황을 평면 안의 회전으로 단순화합니다. 회전축을 고정한다고 생각해도 됩니다. 자유도가 하나뿐이므로 이 상황의 각속도와 각가속도는 벡터가 아니라 스칼라입니다. 이 절에서 2차원의 기본 개념을 만든 다음 12.5.3절에서 3차원으로 확장합니다.
질량을 무시할 수 있는 단단한 원판에 질량 인 점이 붙어 있다고 상상하겠습니다. 원판 중심은 회전 지지점에 고정되어 있어 질점은 원형 경로만 따라갈 수 있습니다. 지지점에서 질점으로 향하는 벡터를 라고 하겠습니다. 질점의 공전 반지름은 입니다.
원판 중심에서 바깥쪽으로 선을 긋고 이 선을 따라 원하는 거리 에 질점을 붙일 수 있다고 하겠습니다. 원판 자체는 질량이 없으므로 그 반지름은 중요하지 않습니다. 아주 큰 원판은 돌리기 어려우리라는 직관은 잠시 꺼 두겠습니다. 회전에 저항하는 유일한 원인, 즉 관성의 유일한 원천은 질점입니다.
원판의 관성은 무시합니다.
의 위치에 힘 를 직접 가하면 어떻게 될까요? 뉴턴의 제2법칙에 따라 질점은 방향으로 가속하려 합니다. 하지만 에 평행한 힘 성분은 원판의 접촉력에 의해 상쇄되어 질점에 영향을 주지 않습니다. 반대로 에 수직인 힘 성분, 즉 질점의 궤도에 접하는 성분은 질점을 가속합니다.
의 크기를 , 에 수직인 성분의 크기를 라고 하겠습니다. 그림 12.17에 나타냈습니다.
그림 12.17
그림 12.17. 원판은 주위로만 회전하도록 구속되어 있습니다. 반지름 위치에 질량 이 붙어 있고 그 질점에 힘 를 가합니다.
삼각함수를 조금 사용하면 와 사이의 각 로부터 를 구할 수 있습니다.
뉴턴의 제2법칙을 적용하면 접선 가속도의 크기는 다음과 같습니다.
회전율을 바꾸는 접선 가속도와 원판의 접촉력이 만들어 궤도를 유지하는 구심가속도를 혼동하지 말아 주세요.
질점의 접선 가속도와 지지점 주위의 각가속도는 같은 운동을 서로 다른 양으로 나타냅니다. 각가속도를 라고 하면, 접선 가속도의 크기와는 다음 관계를 가집니다.
이 관계의 출처를 이해하려면 11.8.1절에서 본 선속력과 각속도의 관계 를 떠올리면 됩니다.
그림 12.18
그림 12.18. 지렛팔 을 사용해 원판의 임의 지점에 힘을 가하기.
이제 질점의 위치는 에 고정하되 질점을 직접 미는 대신, 거리 인 다른 위치에서 원판 밖으로 솟은 말뚝을 민다고 상상하겠습니다. 벡터 은 받침점 에서 힘의 작용점까지 향하며 지렛팔(lever arm) 이라고 부릅니다. 그림 12.18이 이 상황입니다.
혼동하기 쉬운 점을 분명히 하겠습니다. 앞의 그림 12.17에서는 유일한 질점에 직접 힘을 가했으므로 과 이 같았습니다. 하지만 일반적으로는 질량이 원판에 분포하므로 과 이 여러 개 있습니다. 원판을 회전시키는 데 효과적인 힘 성분은 지렛팔에 수직인 성분입니다. 그림 12.17에서 짐작할 수 있는 것처럼 반지름 벡터 에 수직인 성분이 아닙니다.
지렛팔을 바꾸면 가속도가 어떻게 달라지는지 생각해 보겠습니다. 먼저 질점과 같은 반지름의 원 위 어느 곳에서든 힘을 가하면, 즉 이면, 질점을 직접 밀었을 때와 마찬가지로 장치 전체가 각운동량을 얻습니다. 다시 말해 에서 중요한 것은 받침점까지의 거리 과 지렛팔·힘 사이의 각 뿐입니다. 지렛팔과 힘을 함께 돌려도 결과 각가속도는 변하지 않습니다.
말뚝이 질점보다 받침점에 가까우면 이고, 질점을 똑같이 가속하려면 더 세게 밀어야 합니다. 이면 더 작은 힘으로 같은 일을 할 수 있습니다. 따라서 지렛팔 을 늘리면 질점의 접선 가속도 도 비례하여 커집니다. 이것이 아르키메데스가 발견한 지레의 기계적 이득의 기본 원리입니다.
그렇다면 을 바꾸면 장치의 각가속도 에는 어떤 영향이 있을까요? 이 역시 정비례합니다. 원판에서 두 배 멀리 떨어진 곳을 밀면 각가속도가 두 배입니다. 관계식 에서 분명히 알 수 있습니다. 너무 당연해서 말할 필요도 없다고 느낀다면 계속 읽어 보겠습니다.
지금까지 알아낸 것을 정리하겠습니다. 물체에 가한 힘은 물체를 회전시키려는 경향이 있습니다. 이 각가속도의 ‘원인’을 토크라고 하며 그리스 문자 타우〔주18〕 로 씁니다. 힘 때문에 생기는 선가속도는 힘을 어느 지점에 가했는지와 관계없지만, 힘이 만드는 토크의 크기는 얼마나 효과적으로 힘을 가했는지에 따라 달라집니다. 회전 가속도를 만드는 힘의 효과, 즉 토크의 크기는 여러 요소에 의존합니다.
•
가한 힘 의 크기에 비례합니다.
•
받침점에서 힘의 작용점까지 향하는 벡터인 지렛팔 의 길이에 비례합니다.
•
지렛팔에 수직인 힘 성분만 영향을 줍니다. 같은 뜻으로 토크는 에 비례하며, 는 와 사이의 각입니다.
2차원에서는 간결하게 다음처럼 씁니다.
2차원의 토크
토크의 차원은 힘과 같지 않습니다. 토크의 단위는 ‘힘 곱하기 길이’입니다. SI 단위는 뉴턴미터입니다. 차원으로는 줄과 같지만 토크와 에너지는 서로 다른 개념이며, 토크에 줄이라는 단위를 쓰는 것은 적절하지 않습니다.
지렛팔이 길어지면 토크가 커진다는 사실이 직관적으로 분명하지 않을 수도 있습니다. 반지름이 커지면 따라잡기 위해 더 빠르게 밀어야 하므로 더 어려우리라는 직관이 생길 수 있습니다. 그렇다면 그 직관은 틀렸지만 실망하지는 마세요. 우리는 보통 손으로 물체를 미는 식의 일상적인 경험을 통해 힘을 압니다.
하지만 물체가 가속할수록 계속 접촉하려면 더 빠르게 밀어야 하므로, 이런 경험이 꼭 좋은 예는 아닙니다. 힘을 만들어 내는 것의 속도는 힘 자체의 크기와 관계없습니다. 따라서 손으로 미는 대신 바람이 불거나 짧게 ‘툭’ 치는 충격량을 생각해 보겠습니다. 문에서 이 실험을 할 수 있습니다.
경첩 가까운 곳, 즉 지렛팔이 짧은 곳에 바람을 불거나 한 대 치면, 손잡이 쪽 가까운 곳, 즉 지렛팔이 긴 곳에서 같은 일을 할 때만큼 문이 쉽게 돌지 않습니다. 문손잡이를 경첩 반대편에 다는 이유가 바로 이것입니다. 문을 쉽게 열기 위해서입니다!
그림 12.19
그림 12.19. 왼쪽에서는 힘의 작용선이 질량중심을 지나므로 선가속도는 생기지만 토크는 생기지 않습니다. 오른쪽에서는 힘의 쌍인 우력이 토크를 만들지만 선가속도는 만들지 않습니다.
토크와 힘의 관계를 이해하는 것은 중요합니다. 물체에 가하는 어떤 힘이든 선가속도와 토크를 모두 만들 수 있습니다. 물론 물체의 가속도를 결정하는 것은 알짜힘과 알짜토큽니다. 그림 12.19의 핵심적인 두 예가 이를 보여줍니다. 왼쪽에서는 힘이 질량중심을 지나는 직선을 따라 작용하여 토크가 생기지 않습니다.
힘의 작용선이 지렛팔에 평행하므로 입니다. 오른쪽은 다른 극단적인 경우입니다. 크기가 같고 방향이 반대인 두 힘이 반대편 지렛팔에 작용합니다. 이렇게 맞추어 작용하는 한 쌍의 힘을 우력(couple) 이라고 합니다. 알짜토크는 만들지만 알짜 선형 힘은 0입니다.
렌치로 볼트를 돌릴 때 실제로는 두 개 이상의 접촉력을 가합니다. 접촉력의 방향과 지렛팔을 원형으로 맞추어 토크를 만들면서 알짜 선형 힘은 거의 0으로 만드는 것입니다.
디지털 시뮬레이션에서 토크는 여러 곳에서 올 수 있습니다. 흔한 원인 하나는 어떤 지렛팔에 가해진 선형 힘이며, 그중에서도 가장 흔한 토크의 원인은 충돌입니다. 물체에 가한 충격력은 각충격량(angular impulse), 또는 충격 토크를 만들 수 있습니다. 선형 충격량과 비슷하게 각충격량은 순간적인 각운동량 변화입니다.
짧은 시간 동안 큰 토크가 작용한 결과라고 생각할 수 있습니다. 각에 대한 구속을 지키도록 물리 엔진이 자동으로 토크를 적용하게 할 수도 있습니다. 필요하면 최대 크기를 제한할 수 있습니다. 각 스프링과 모터가 예입니다. 마지막으로 대응하는 선형 힘이 전혀 없이도 어떤 이유로 물체에 원하는 토크를 직접 더할 수 있습니다.
회전 원판에 질점을 붙인 사고실험으로 돌아가겠습니다. 지렛팔 은 고정하고 대신 질점과 지지점 사이의 반지름 거리 을 바꾸면 어떨까요? 같은 지레 원리가 반대로 작용합니다. 질점이 받는 힘과 따라서 접선 가속도 는 에 반비례합니다.
달리 말하면 질점의 유효 관성, 즉 선가속도에 대한 저항은 에 비례합니다. 그렇다면 장치가 각가속도에 저항하는 능력은 어떨까요? 을 바꿀 때 관성모멘트(moment of inertia) 는 어떻게 달라질까요? 관성모멘트는 에 비례하지 않습니다.
에 비례합니다! 이유를 보려면 과 을 같은 비율로 늘렸을 때 질점의 접선 가속도 가 그대로라는 점을 생각하겠습니다. 하지만 반지름이 커졌으므로 관계식 에 따라 같은 접선 가속도는 더 작은 각가속도에 해당합니다.
물체의 관성모멘트는 특정 지지점을 기준으로 측정하며, 그 점 주위의 각가속도에 물체가 얼마나 저항하는지 수량화합니다. 이 예에서는 고정 지지점이지만, 강체에서는 보통 질량중심을 기준으로 측정합니다. 질점의 관성모멘트 는 질량에 비례하고 질점에서 지지점까지 거리의 제곱에 비례합니다.
평면 안의 질점의 관성모멘트
이제 사고실험의 원판에 여러 질점이 놓여 있다고 생각하겠습니다. 각 질점은 원판이 회전에 저항하는 정도에 기여하며, 그 기여는 힘을 어느 곳에 가했는지와 관계없습니다. 임의의 강체의 관성모멘트를 계산하려면 물체를 여러 ‘질량 요소’로 나누고 각 요소의 질량 와 질량중심까지의 반지름 거리 를 알아야 합니다. 그런 다음 각 요소의 관성모멘트를 모두 더합니다.
강체의 관성모멘트
이해를 돕는 예를 몇 가지 풀어 보겠습니다.
그림 12.20
그림 12.20. 질량 분포는 관성모멘트에 영향을 줍니다. 위 예들은 모두 총질량이 같습니다.
그림 12.20의 원판 네 개를 생각하겠습니다. 각 원판에는 질점이 세 개 있으므로 식 (12.25)의 합을 로 펼칩니다.
이 예는 기계적인 계산 연습 외에도 중요한 사실을 강조합니다. 물체 내부의 질량 분포가 관성모멘트에 큰 영향을 줄 수 있습니다. 원판의 총질량은 모두 6인데도 관성모멘트는 크게 다릅니다. 이를 선형 관성과 비교하겠습니다. 질량의 배치만 바꾸어서는 물체가 선형으로 가속되기 쉬워지거나 어려워지지 않습니다.
선가속도에서 중요한 것은 총질량뿐입니다. 게다가 3차원에서도 선형 질량은 스칼라로 수량화할 수 있지만, 관성모멘트는 질량 분포에 의존하므로 숫자 하나로 표현할 수 없습니다.
질량 요소의 개수가 무한대로 갈 때의 극한을 취하면 식 (12.25)는 적분으로 바뀝니다. 다행히 구·원기둥·고리 같은 흔한 모양의 관성모멘트 공식은 인터넷에서 찾을 수 있습니다.
뉴턴의 제2법칙 에도 간단한 회전 대응식이 있습니다.
뉴턴 제2법칙의 회전 대응식
평면 안의 회전에서는 식 (12.26)의 모든 변수가 스칼라입니다. 하지만 3차원에서는 와 가 벡터가 되고 는 행렬이 됩니다. 12.5.3절에서 설명합니다.
선형 힘에 대응하는 토크를 살펴보았습니다. 이제 운동량으로 관심을 돌리겠습니다. 선운동량은 물체에 담긴 ‘운동의 양’이었습니다. 그에 대응하는 각운동량(angular momentum) 도 비슷하게 해석할 수 있습니다. 직관적으로 각운동량은 물체의 회전을 멈추기 얼마나 어려운지를 나타냅니다. 각운동량이 크면 적용하는 토크의 크기나 작용 시간, 또는 둘 다 커야 합니다.
선운동량을 설명할 때는 두 가지 관점이 있었습니다. 첫 번째는 ‘한순간의 관점’에서 에 따라 질량과 속도의 곱으로 해석하는 것입니다. 회전 대응식은 식 (12.27)입니다.
자전 각운동량
각운동량 은 관성모멘트 와 각속도 의 곱입니다.
다른 방법으로, 개별 질점의 선운동량에서 각운동량을 직접 계산할 수도 있습니다.
선운동량과 각운동량의 관계
여기서 는 선운동량입니다. 항의 목적은 토크 계산 때와 같습니다. 접선 운동 성분을 분리하는 것입니다. 궤적이 공전 궤도임을 알고 있다면 이 항은 항상 1이므로 생략할 수 있습니다. 식 (12.28)에는 인수가 있으므로 사실 공전 각운동량에 관한 식입니다.
식 (12.27)도 와 를 같은 지지점 기준으로 측정한다면 공전 각운동량에 쓸 수 있습니다. 하지만 물체 전체의 관성모멘트를 로 사용하는 강체의 자전 각운동량에는 식 (12.27)이 더 적절할 것입니다. 어느 경우든 강체의 자전 각운동량은 물체를 질량 요소들로 나눈 뒤 각 요소의 공전 각운동량을 더해서 계산할 수 있습니다.
합을 수행하는 여러 방법을 쓰면 다음과 같습니다.
강체의 자전 각운동량
아래첨자가 있는 변수는 특정 입자의 값을 뜻합니다. 각 입자가 공전 궤도를 따른다고 가정하여 항을 생략했습니다.
선운동량을 보는 두 번째 관점은 힘의 시간 적분이라는 해석이었습니다. 시간에 걸쳐 힘을 가하면 선운동량이 누적됩니다. 각운동량과 토크 사이에도 비슷한 관계가 있습니다. 토크가 시간에 걸쳐 작용하면 각운동량이 쌓입니다. 같은 의미로 토크는 각운동량의 변화율, 즉 도함수입니다. 선운동량처럼 보존 법칙으로 해석할 수 있습니다.
토크와 각운동량 보존
외부 토크가 없으면 각운동량은 보존됩니다.
〔주18〕 tau는 영어 cow와 운이 맞는 ‘타우’처럼 발음합니다.
같은 힘으로 문을 더 쉽게 여는 위치
실험의 ‘지렛팔’ 화면은 왼쪽 경첩에 고정된 문을 위에서 본 그림입니다. 같은 힘을 경첩에서 멀리 가할수록 토크 가 커집니다. 힘이 지렛팔과 나란하면 이므로 회전을 만들지 못합니다. 직각으로 가하면 같은 힘에서 가장 큰 토크를 얻습니다.
반면 회전 저항인 관성모멘트는 힘의 작용점으로 정하지 않습니다. 물체의 질량이 축에서 어떻게 떨어져 분포하는지로 정합니다. 원문의 질점 모형 에서 같은 질량을 축으로부터 두 배 멀리 옮기면 관성모멘트는 네 배입니다. ‘힘을 가하는 거리’ 과 ‘질량이 놓인 거리’ 를 구분해야 하는 이유입니다.
12.5.3 3차원 회전 동역학
이제 12.5.2절에서 만든 기본 원리를 3차원으로 확장하겠습니다. 먼저 3차원 회전 운동학의 물리량을 복습합니다. 하나의 각 는 어떤 형식의 회전 텐서로 바뀝니다. 일반적인 강체 시뮬레이션에서는 자세를 나타내는 데 회전행렬 이나 쿼터니언 를 가장 많이 사용합니다. 각속도 와 각가속도 는 벡터가 되어 각각 굵은 글씨 , 로 씁니다.
동역학 원리를 3차원으로 확장하기 위해 토크부터 시작하겠습니다. 예상대로 토크도 라는 벡터가 됩니다. 이 벡터의 방향은 토크가 회전을 일으키려는 축을 나타냅니다. 물체가 이미 다른 축으로 회전 중이면 어떻게 되는지는 뒤에서 생각합니다. 가한 힘 와 지렛팔 로 토크를 계산하는 공식은 2차원 공식보다 오히려 더 간단합니다!
3차원의 토크
식 (12.29)를 식 (12.24)의 와 비교해 보겠습니다. 외적 안에 크기와 항이 이미 들어 있습니다.
각운동량도 벡터 이 되며 선형 물리량과의 관계를 나타내는 식도 비슷합니다.
반지름 벡터가 인 3차원 입자의 공전 각운동량
식 (12.28)과 비교하겠습니다.
주의 깊은 독자라면 식 (12.28)이 평면의 각운동량에 관해 제시한 두 식 중 하나일 뿐이며, 입자의 공전 각운동량에 더 적합하다고 했던 식이라는 사실을 떠올릴 수 있습니다. 그렇다면 자전 각운동량에 더 적합했던 다른 식 (12.27)은 어떻게 될까요? 그 식은 였습니다. 3차원 대응식을 얻으려면 관성모멘트 를 3차원으로 확장하는 방법을 알아야 합니다.
다행히 두 운동량 식 사이의 연결이 이를 이해하는 훌륭한 방법입니다. 를 전개하여 와 비슷한 형태를 얻는 것을 목표로 하겠습니다.
핵심은 마지막 줄입니다. 와 놀랄 만큼 비슷합니다. 실제로 괄호 안의 양이 3차원 관성모멘트입니다.
관성 텐서
반지름 벡터가 인 질량 의 관성 텐서는 다음과 같습니다.
이 양은 벡터가 아니라 행렬입니다. 이를 드러내기 위해 3차원에서는 관성모멘트를 관성 텐서(inertia tensor) 라고 부르기도 합니다. 이 수학적 구조는 물체의 회전 가속도에 대한 저항이 비등방적(anisotropic) 이라는 물리적 사실의 결과입니다.
어떤 축 주위로는 다른 축보다 더 쉽게 돌릴 수 있다는 뜻입니다. 예를 들어 철근을 헬리콥터 날개처럼 돌리는 데 필요한 토크와, 철근의 길이 방향 축을 중심으로 굴리는 데 필요한 토크를 비교해 보겠습니다.
는 대칭행렬입니다. 이에 따른 사소하지만 고마운 결과는 행벡터와 열벡터를 조금 느슨하게 사용해도 된다는 것입니다. 보통은 결과가 전치되지 않도록 아주 조심해야 합니다.〔주19〕 의 다른 성질을 보기 전에, 가장 중요한 공식으로 기본식들의 3차원 확장을 마치겠습니다.
평면에서 뉴턴의 제2법칙 에 대응하는 회전식은 입니다. 원문은 이를 3차원으로 다음과 같이 확장합니다.
뉴턴 제2법칙의 3차원 회전 대응식 — 원문의 표기
앞서 말했듯 컴퓨터 시뮬레이션에서는 힘과 질량을 알고 으로 가속도를 구하는 경우가 많습니다. 회전 동역학에도 비슷한 상황이 있습니다. 으로 나누는 대신 을 곱합니다.
이 3차원 식의 적용 조건과 일반적인 회전 강체에서 필요한 추가 항은 별도 보충 해설에서 다룹니다. 디지털 시뮬레이션에서는 보다 역관성 텐서가 더 자주 필요하므로 보통 미리 계산해 저장합니다.
식 (12.30)은 질점의 관성 텐서를 계산하는 방법입니다. 더 복잡한 모양은 어떨까요? 질량중심을 구했을 때처럼 복합 물체를 아주 많은 질량 요소로 나누고 각 요소의 관성모멘트를 더한다고 생각할 수 있습니다. 가장 큰 요소의 부피가 0으로 가는 극한을 취하면 이 합은 다차원 적분이 됩니다.
상자·원판·원기둥·구·원뿔 같은 추상적인 기본 도형을 제외하면 이런 적분은 보통 해석적으로 풀기 어렵거나 불가능합니다. 다행히 이런 기본 도형은 실제로 흔히 나타나고 충분히 좋은 근사도 제공합니다. 더 다행인 점은 다양한 기본 도형의 어려운 적분 계산을 누군가 이미 해 두었다는 사실입니다.
이런 모양의 관성모멘트를 얻는 가장 좋은 방법은 표에서 공식을 찾아보는 것입니다. 원문 집필 당시에는 wikipedia.org의 ‘List of moment of inertia tensors’에서 그런 표를 찾을 수 있었습니다.
복잡한 물체는 보통 공식이 알려진 기본 도형으로 나누어 각 관성모멘트를 계산한 뒤 결과를 더해 근사합니다. 다만 한 가지 문제가 있습니다. 기본 도형의 공식은 좌표계 원점이 구의 중심 같은 적당한 위치에 있다고 가정합니다. 사람 몸의 관성모멘트를 계산하면서 머리를 구로 근사한다고 생각해 보겠습니다.
원점을 머리 중심에 두었을 가능성은 낮습니다. 다행히 평행축 정리(parallel axis theorem) 는 질량을 평행이동할 때 관성모멘트가 어떻게 달라지는지 알려줍니다.
질량이 인 물체의 질량중심 기준 관성 텐서를 이라고 하겠습니다. 질량중심으로부터 변위가 인 임의의 지지점을 기준으로 측정한 관성 텐서 는 식 (12.31)입니다.
평행축 정리
〔주19〕 이 책은 행벡터를 사용한다는 관례를 기억하겠습니다. 3차원 대화형 응용에서 만나는 행렬 대부분은 변환행렬이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 읽는 순서가 편리하기 때문입니다. 위 유도에서는 설명과 보기 좋은 배치를 위해 열벡터를 썼습니다. 관성 텐서는 변환행렬이 아닙니다. 그래도 일관성 없는 점은 반성합니다. 이제부터는 관례에 따라 벡터를 왼쪽에 쓰겠습니다.
일반적인 3차원 강체는 각속도가 저절로 일정하지 않는다
12.5.1의 ‘외부 토크가 없으면 각속도가 일정하다’는 설명은 일반적인 비대칭 강체에는 성립하지 않습니다. 보존되는 것은 관성계에서의 각운동량입니다. 각운동량과 각속도는 항상 평행하지 않으므로 각속도의 방향과 성분이 바뀔 수 있습니다. 원문 12.5.3의 도 일반적인 3차원 회전식에서는 추가 항이 필요합니다.
혼동을 피하기 위해 여기의 정정식만 열벡터 관례로 쓰겠습니다. 같은 기준계에서 관성 텐서를 라고 하면 다음과 같습니다.
구처럼 관성 텐서가 모든 방향에서 같거나, 각속도와 각운동량이 평행하여 외적 항이 0인 특별한 경우에는 단순식으로 줄어듭니다. 2차원 고정축 식 와, 순간적인 충격량에 의한 를 일반적인 유한 시간의 회전 적분과 구분하겠습니다. MIT의 강체 동역학 강의 자료 2.4절의 오일러 방정식과 연결되는 내용입니다.
12.5.4 회전을 포함하는 충돌 반응
이제 12.4.2절에서 시작한 충돌 반응 계산을 완성하겠습니다. 그때는 회전 효과를 고려하지 않았지만 이제는 고려할 수 있습니다. 계속 Hecker [35]의 설명을 따릅니다.
기본 전략을 기억하겠습니다.
1.
접촉점에서의 상대속도를 계산합니다.
2.
상대속도를 표면 법선에 투영합니다. 이 속도가 침투 또는 추가 침투를 막기 위해 상쇄해야 할 속도입니다.
3.
표면 법선에 평행하고 서로 반대인 방향으로 두 물체에 충격량을 적용했을 때, 충돌 뒤 법선 방향 속도가 어떤 충돌 법칙에서 요구하는 크기가 되도록 충격량의 크기 를 계산합니다. 여기서는 뉴턴의 충돌 법칙과 반발계수 를 사용합니다.
4.
한 물체에는 충격량 을, 다른 물체에는 을 적용합니다.
회전할 수 있는 물체를 다루면 몇 가지 복잡함이 더해집니다. 앞에서는 물체의 ‘속도’라고 하나만 이야기했습니다. 하지만 물체가 회전하면 물체 위의 서로 다른 점들은 선속도가 다릅니다. 필요한 속도는 질량중심의 속도가 아니라 접촉점의 속도입니다. 따라서 각속도를 반영하도록 속도 계산을 확장해야 합니다.
마찬가지로 충격량을 적용한 뒤 충돌점의 속도를 예측할 때도 회전 효과를 고려해야 합니다. 접촉점에 충격량을 가하면 각충격량이 생겨 회전율이 바뀝니다. 일반적으로 물체가 자유롭게 회전하면 더 작은 충격량으로도 충돌을 해소할 수 있습니다. 충격량이 점 속도를 줄이는 두 가지 방법을 가지기 때문입니다.
각속도의 변화 때문에 접촉점들은 질량중심보다 더 빠르게 서로 멀어집니다. 실제로 충돌 뒤에도 두 질량중심은 계속 가까워지고 있을 수 있습니다.
12.4.2절에서는 다음 식에서 시작했습니다.
그다음 식을 펼쳐 충격량의 크기 를 풀었습니다. 는 왼쪽 안에 숨어 있습니다. 여기서도 같은 전략이 통합니다. 다만 회전 효과를 고려하여 충격량 적용 전후의 점 속도를 나타내는 새로운 식이 필요합니다. 먼저 표기를 확인하겠습니다. 물체 의 질량중심을 기준으로 한 충돌점의 위치를 , 각속도를 , 질량을 , 관성 텐서를 라고 합니다.
선속도에는 새로운 표기가 필요합니다. 접촉점의 선속도 와 질량중심의 선속도 를 구분해야 합니다. 앞에서처럼 프라임은 충돌 뒤의 값을 뜻합니다.
이 표기로 각 물체의 점 속도는 질량중심의 운동에 따른 속도에 회전으로 생기는 속도를 더해 계산합니다. 식 (11.31)을 이용합니다.
점 속도 계산
충돌 뒤 속도는 질량중심의 선속도 변화와 각속도 변화에 달려 있습니다. 다음처럼 구합니다.
충격량 적용 뒤 물체의 선속도와 각속도
부호 관례는 충돌 법선 을 첫 번째 물체에서 두 번째 물체 쪽으로 향하게 정한 데서 나옵니다. 위 식들을 결합하면 충격량 적용 뒤 점 속도를 얻습니다.
상대 점 속도를 로 정의하면 이제 대수 계산을 밀고 나갈 준비가 되었습니다.
충격량 적용 뒤 접촉점의 속도
한 단계만 더 계산하면 원하는 공식을 얻습니다.
회전을 포함한 충돌 반응
충격량의 크기는 상대 점 속도, 질량, 관성모멘트, 표면 법선, 반발계수로 다음과 같이 계산합니다.
식 (12.32)는 모든 벡터를 같은 좌표계에서 측정하고, 역관성 텐서도 같은 좌표계의 벡터에 작용한다고 가정합니다. 하지만 역관성 텐서가 상수인 것은 물체 공간에서뿐입니다. 물체가 회전할 때 월드 공간의 대응 행렬이 계속 갱신되어 있지 않을 수도 있습니다. 우리의 관례에서는 왼쪽 행벡터를 물체 공간에서 직립 공간으로 바꾸는 회전행렬 로 자세를 표현합니다.
이 가정 아래에서는 식 (12.32)의 을 로 바꾸어 사용합니다.
충돌 공식에 값을 넣기 전의 일관성
원문은 법선 을 물체 1에서 물체 2로 향하게 정하고 를 사용합니다. 이 관례에서는 접촉점들이 가까워지는 경우 입니다. 이미 멀어지는 접촉에 반발 충격량을 다시 적용하면 물체를 서로 끌어당기는 잘못된 결과가 생길 수 있습니다. 침투 보정은 별도 제약이나 편향 항 등 엔진이 정한 처리와 함께 고려합니다.
법선이 단위벡터가 아닐 때 식의 는 단순한 배율입니다. 실제 벡터 충격량은 이고 그 크기는 입니다. 또 회전을 다루는 모든 위치·속도·법선과 관성 텐서는 같은 좌표계로 맞춰야 합니다. 행벡터를 쓰는 이 책에서는 물체 공간 역관성 텐서를 월드 축으로 바꿀 때 를 사용합니다. 열벡터 라이브러리의 수식을 그대로 섞지 말아 주세요.