12.3 운동량 (Momentum)
12.1.3절에서 모가 밀던 상자의 질량이 m이고, 어느 순간 속도 v로 움직이는 것을 관찰했다고 합시다. 뒤늦게 장면을 봤으므로 어떤 크기의 힘을 얼마나 오래 가했는지, 상자의 속도가 어떻게 변해 왔는지는 알 수 없습니다. 일정한 알짜힘 f를 Δt 동안 가해서 가속했을 수도 있지만, f와 Δt가 각각 얼마인지는 모릅니다. 큰 힘을 짧게 가했을까요, 작은 힘을 오래 가했을까요? 힘이 일정했다고 가정할 근거조차 없습니다. 한 번 세게 밀어 움직이게 한 뒤 다시 밀어 더 빠르게 했을 수도 있습니다.
어떤 힘을 얼마나 오래 가했는지는 몰라도, 곧 설명할 의미에서 그 ‘총량’은 알 수 있습니다. 모가 일정한 힘 f를 Δt 동안 한 번 가했다고 가정하면, 제2법칙에 따라 가속도는 a=f/m입니다. 초기 속도가 0이라면 다음과 같습니다.
a=f/m을 대입하고 정리하면 다음을 얻습니다.
식 12.16의 왼쪽과 오른쪽은 운동량(momentum)이라는 중요한 개념을 바라보는 두 관점을 보여줍니다. 운동량은 ‘미는 효과의 총량’을 정량화할 때 추적해야 하는 올바른 양입니다.
먼저 물리적으로 말이 되는 식인지 차원 분석으로 확인하고, 운동량의 단위도 알아봅시다. 두 곱이 같은 물리적 의미를 가진다는 것이 직관적으로 분명하지는 않습니다.
운동량은 크기와 방향이 있는 벡터입니다.
운동량을 이해하려면 식 12.16의 양쪽을 봅시다. 먼저 왼쪽은 운동량을 질량과 속도의 곱으로 해석합니다. 사실 거의 모든 물리 교과서에서 다음 식을 찾을 수 있습니다.
P는 운동량에 전통적으로 사용하는 문자입니다. 대문자이지만 벡터입니다. 입자의 위치를 나타낼 때 쓰는 p와 혼동하지 않으려고 대문자로 적었습니다.
식 12.17은 운동량이 물체의 순간적인 속성임을 분명히 합니다. 그 상태에 어떻게 도달했는지 몰라도 현재 상태만 알면 정할 수 있다는 뜻입니다. 움직이는 물체를 멈추는 데 필요한 ‘미는 효과의 총량’으로 생각하면, 질량과 속도의 곱이라는 것도 직관적입니다.
책상 위에서 구르는 연필처럼 작고 느리면 작은 총량으로 충분합니다. 총알처럼 빠르거나, 경사진 곳에서 주차 브레이크 없이 구르는 자동차처럼 무거우면 더 큰 총량이 필요합니다. 착륙하는 비행기처럼 빠르면서 무겁다면 피하는 편이 낫겠지요. P=mv는 ‘멈추기 어렵다’는 생각을 정량화합니다.
기억하기 쉬운 P=mv가 더 흔한 설명이지만, 식 12.16의 오른쪽이 실제로 더 깊은 통찰을 줍니다. 초기 운동량이 0인 상황에서 P=fΔt는, 힘과 시간의 곱으로 최종 운동량을 구할 수 있음을 보여줍니다. 운동량은 이처럼 시간에 걸쳐 힘이 작용한 결과와 연결됩니다. ‘미는 효과의 총량’이라는 다소 거친 표현은 이런 뜻이었습니다. 미는 힘 자체의 크기가 쌓인다는 뜻이 아니라, 알짜힘을 계속 가하면 운동량이 늘거나, 힘과 운동량의 방향이 반대이면 줄어든다는 뜻입니다.
P=fΔt를 일반화하면 더 깊은 관계를 찾을 수 있습니다. 모가 일정한 힘 대신 시간에 따라 변하는 힘으로 상자를 밀면 어떨까요? 순간 t의 가속도는 다음과 같습니다.
뉴턴의 제2법칙에 시간에 따라 변한다는 표기를 명시적으로 붙인 것입니다. 11장에서 가속도를 시간에 대해 적분하면 속도 함수를 얻는다고 배웠습니다.
질량이 일정하다고 가정하고 식 12.18을 대입하면 다음과 같습니다.
마지막으로 시간에 따른 운동량을 P(t)라 하고 P(t)=mv(t)를 대입하면 중요한 관계를 얻습니다.
적분은 ‘합산’ 과정이므로, 이 식은 운동량을 시간에 걸쳐 힘을 계속 가한 결과로 해석하는 관점을 확인해 줍니다. 원문의 주의: 위 적분들에서는 적분 상수를 생략했으며, 사실상 초기 속도를 0으로 가정했습니다.
적분과 미분은 서로 역관계입니다. 양변을 t로 미분하면 힘과 운동량 관계의 반대쪽 표현을 얻습니다.
힘은 운동량의 도함수: 계에 작용하는 알짜 외력은 그 계의 운동량 변화율과 같습니다.
식 12.21은 흥미로운 관찰에 그치는 것이 아니라 힘을 정의하는 올바른 방법이기도 합니다. 오늘날 뉴턴의 법칙을 힘과 질량으로 설명하지만, 뉴턴 자신은 처음에 운동량으로 표현했습니다. 그는 ‘운동(motion)’이라는 말을 썼지만, 글을 보면 아주 특정한 의미인 운동량을 가리켰다는 것을 알 수 있습니다.
당시에는 아직 그 개념에 momentum이라는 이름이 붙지 않았습니다. 기본 규칙을 세우던 사람이었으니까요. 원래의 제2법칙은 흔히 보는 f=ma보다 식 12.21에 더 가까운 형태였습니다.
12.3.1 운동량 보존
상자를 움직이려고 모가 지구를 밀 때 무슨 일이 일어나는지 돌아가 봅시다. 지구에는 밀어낼 다른 대상이 없으므로 알짜힘과 가속도가 생기며, 뒤에서 다룰 토크도 생깁니다. 그렇습니다. 상자를 밀 때뿐 아니라 한 걸음 한 걸음을 내디딜 때도 여러분은 지구를 가속합니다!
물론 지구의 질량에 비해 모의 힘이 작아서 가속도는 매우 작습니다. 게다가 모가 동쪽으로 상자를 미는 동안 노스다코타의 조가 서쪽으로 상자를 밀면 상쇄될 수도 있습니다. 그러나 이 두 사실보다 더 중요한 것은 물리학의 ‘회계 법칙’입니다. 공짜 운동량은 없습니다. 모는 힘을 상쇄해 줄 조가 필요하지 않습니다. 결국 자신이 스스로 상쇄할 수밖에 없습니다.
일단 상자를 움직였으면 언젠가 멈춰야 한다는 점을 보세요. 제1법칙에 따르면 움직이는 상자를 멈추려면 힘이 필요하고, 제3법칙에 따르면 반대 힘을 받는 다른 물체가 있어야 합니다. 상자가 나무에 부딪쳐 멈출 수도 있습니다. 여기서는 나무를 지구의 일부로 봅니다. 단단히 연결된 물체를 하나로 취급할 근거가 제3법칙이라는 점을 기억하세요.
상자를 멈추려면 지구가 처음 모가 민 방향과 반대로 상자를 밀어야 합니다. ‘미는 효과의 총량’도 같아야 합니다. 충분히 큰 힘 또는 충분히 긴 시간으로 상자의 운동량을 0까지 내려야 합니다. 상자가 키 큰 풀밭으로 굴러 들어가 오래 감속할 수도 있습니다. 따라서 상자를 출발시키며 지구가 받은 운동량 변화는, 그 상자를 멈추기 위해 가하는 반대 효과로 정확히 상쇄됩니다.
하지만 상자가 지구를 직접 밀어 멈추는 것이 아니라면 어떨까요? 조의 상자에 부딪쳤다고 합시다. 짠! 모의 상자를 멈추면서 지구에는 힘을 가하지 않았습니다. 그러나 이제 제3법칙에 따라 조의 상자가 가속됩니다. 다시 힘으로 멈추기 전까지 계속 움직일 상자가 생긴 셈입니다. 이 연쇄를 끝내려면 결국 어느 단계에서 무언가가 지구를 밀어야 한다는 것이 원문의 예입니다.
이를 더 일반화할 수 있습니다. 지구와 그 안의 움직이는 모든 부분을, 질량중심(center of mass)이라는 위치에 질량이 모인 입자 하나로 취급할 수 있습니다. 이 특별한 점은 12.3.2절에서 설명합니다. 모 같은 사람이 지구를 미는 것은 계 내부의 물체 사이에서 운동량을 옮기는 일입니다.
각 부분은 다른 부분과 질량중심에 대해 움직일 수 있습니다. 그러나 외력이 작용하지 않는 한 전체 계의 운동량은 일정합니다. 이것이 운동량 보존 법칙입니다.
운동량 보존 법칙: 계에 외력이 작용하지 않으면 그 계의 운동량은 일정합니다.
운동량 보존은 식 12.21이 정확히 말하는 내용입니다. 실험으로 검증된 사실이며, 동시에 뉴턴의 법칙에서도 자연스럽게 나옵니다. 12.4절에서는 이 중요한 법칙을 충돌 시뮬레이션에 사용합니다. 그전에 질량중심을 더 자세히 봅시다.
12.3.2 질량중심
운동량을 이야기하다가 물체의 질량중심까지 왔습니다. 이 중요한 개념을 조금 더 설명하겠습니다. 물체 전체에서 중력 가속도가 거의 일정한 일상적인 상황에서는 질량중심이 무게중심(center of gravity)과 같습니다. 본질적으로 물체가 완벽히 균형을 이루는 중심점입니다. 아주 가는 막대 끝에서 물체의 균형을 잡거나 줄에 매달면, 막대나 줄의 연장선이 질량중심을 지납니다.
수학적으로 구하기 전에 실험으로 측정하는 방법을 봅시다. 모양이 이상하거나 밀도가 불균일한 물체가 있다고 합시다. 표면의 임의 지점에 매달면 무게중심이 놓여야 하는 수직선 하나를 얻습니다. 다른 지점에서 다시 매달고 두 선의 교점을 찾으면 무게중심을 구할 수 있습니다.
그림 12.7 — 불규칙한 파티클보드 조각의 질량중심을 실험으로 측정하기
저자들은 그림 12.7처럼 파티클보드로 이 실험을 했습니다. 일부러 비대칭인 모양으로 자른 다음, 임의의 세 지점을 골라 매달았습니다. 흔들림이 멈추면 보드를 매단 줄과 일치하는 굵은 선을 그었습니다. 과연 물리 법칙이 잘 작동했습니다. 세 번째 선도 처음 두 선의 교점, 즉 질량중심을 통과했습니다.
수학적으로 계산하려면 물체를 아주 많은 작은 ‘질량 요소’로 나눈다고 생각합니다. 요소가 n개이고 i번째 요소의 질량과 위치를 라 하면, 질량중심 는 위치들의 질량 가중 평균입니다.
M은 물체 전체의 질량입니다.
우리에게 가장 중요한 성질은 물체가 자유롭게 회전하면 질량중심을 기준으로 회전한다는 것입니다. 다른 점을 중심으로 돌게 하는 구속 조건이 없다고 가정합니다.
예를 들어 큰 망치를 생각해 보세요. 질량중심은 손잡이 가운데가 아니라 무거운 머리 쪽에 가깝습니다. 망치를 방 안으로 던지면 공중에서 회전하며, 임의의 점은 복잡하게 꼬인 궤적을 그립니다. 그러나 질량중심은 11장의 운동학 방정식과 정확히 일치하는 포물선을 따라 움직입니다.
저자들은 큰 물체를 던질 기회를 놓칠 수 없어 직접 검증했고, 여러분도 할 수 있습니다.(원주 12-13) 실험으로 질량중심을 찾아 표시해 둔 불규칙한 파티클보드부터 준비했습니다. 그다음은 재미있는 단계입니다. 공중으로 던지고 삼각대에 고정한 카메라로 연속 사진을 찍었습니다. 사진들을 한 장으로 합친 뒤, 표시된 질량중심 점들에 최소제곱법으로 포물선을 맞추었습니다. 그림 12.8이 결과입니다.
그림 12.8 — 질량중심은 11장의 단순한 운동학 방정식을 따릅니다. 다른 점들은 회전에 따라 꼬인 궤적을 그립니다
작은 주의점이 있습니다. 포물선을 맞출 때 첫 프레임은 제외했습니다. 첫 사진에서는 보드가 아직 보조자의 손에 있으므로 포물선 자유 낙하를 시작하지 않았기 때문입니다.
자유 회전하는 물체는 질량중심을 기준으로 회전하므로, 물리 시뮬레이션에서는 물체의 원점을 질량중심에 두면 매우 편리합니다. 다른 위치에 둘 타당한 이유가 있을 수도 있습니다. 예를 들어 그래픽 모델의 원점은 모델을 만든 아티스트에게 편리한 위치에 있을 수 있습니다.
원점을 질량중심 외의 곳에 두면 보통 물체의 ‘위치’ 두 개를 다루게 됩니다. 하나는 물리 시스템이 사용하는 질량중심의 월드 좌표, 다른 하나는 렌더링 시스템이 사용하는 그래픽 모델 원점의 위치입니다. 두 규약 사이를 변환하는 코드는 물리 엔진 인터페이스, 예를 들어 시뮬레이션 뒤 물체 위치를 갱신하는 코드나, 렌더링할 때 물체의 기준계를 설정하는 코드에 놓일 가능성이 큽니다.
망치 같은 강체에서는 질량중심이 물체 내부에 고정되어 있습니다. 지금까지 암묵적으로 한 가정입니다. 그렇지 않다면 원점을 질량중심에 두라는 조언이 의미가 없겠지요. 그러나 지구처럼 움직이는 부분들을 포함하는 일반적인 계에서는 질량중심이 상수가 아니라 동적으로 바뀝니다. 부분들의 배치가 달라지면 물체 내부에서 질량중심 위치도 바뀝니다.
예를 들어 전 세계 사람이 동시에 북극을 방문한다고 상상해 봅시다. 모두 들어갈 자리가 있고 귀마개도 충분하다고 가정하면, 지구의 질량중심은 북극 쪽으로 이동합니다. 그러나 새 질량중심은 예전 질량중심이 따랐을 것과 같은 궤적을 그립니다. 모두 집에 있었을 때보다 지구의 기하학적 중심은 조금 ‘남쪽’ 궤적을 따르지만, 전체 계 질량중심의 궤적은 같은 것입니다.
북극 대신 적도 가까운 갈라파고스 제도에 모두 간다면 어떨까요? 지구가 균형이 안 맞는 천장 선풍기처럼 ‘흔들흔들’ 돌까요? 원문은 아니라고 설명합니다. 질량중심이 갈라파고스 쪽으로 이동하고 지구는 새 질량중심 주위로 회전합니다. 지구를 완전한 구라고 가정하면 구의 기하학적 중심을 기준으로 도는 것이 아니므로 위에서 봤을 때 비대칭으로 보일 수는 있지만, 회전은 부드럽다는 설명입니다.
불균형한 천장 선풍기가 흔들리는 이유는 회전축을 자유롭게 선택할 수 없기 때문입니다. 고정 축과 질량중심을 맞추도록 균형을 잡아야 합니다. 지구는 어디에도 연결되지 않았으므로 질량중심이 어디 있든 그 주변으로 자유롭게 회전할 수 있다는 것이 원문의 대비입니다. 일반적인 자유 강체의 회전에 관한 한계는 아래 주석을 참고하세요.
물론 지구의 모든 사람을 합쳐도 달보다 가볍기 때문에, 지금까지의 설명에는 생략한 부분이 있습니다. 태양 주위를 돌며 타원을 그리는 점은 지구 자체의 질량중심이 아니라 지구·달 전체 계의 질량중심입니다. 이 점은 지구 기하학적 중심에 아주 가깝지는 않지만, 지구가 달보다 훨씬 무거워 지표 아래에 있습니다.
달이 공전하면서 이 계의 질량중심은 지구 내부에서 위치가 바뀝니다. 원문의 근사에서는 태양 주위를 도는 것은 지구 자체의 질량중심이 아니라 이 가상의 점입니다.
원주 12-13: 직접 한다면 다음 조언을 따르세요. (1) 안전하게 하세요. 정말입니다. 어리석은 행동에 저자들이 책임질 수는 없습니다. 한 저자는 아버지의 잔디깎이 바퀴를 교체해야 했습니다. 궤적은 완벽한 포물선이었지만 착지 충격은 견디지 못했기 때문입니다. (2) 저자들은 약 4Hz로 정지 사진을 찍었습니다. 더 빠르게 연속 촬영하는 카메라나 영상에서 프레임을 뽑는 방법이 더 좋을 수 있습니다. (3) 사진을 gamemath.com으로 보내 주세요! 이 마지막 문장은 원서 저자가 독자에게 안내한 내용입니다.
힘, 충격량, 운동량을 구별하기
초기 운동량까지 포함한 일반적인 식은 다음과 같습니다.
적분 항이 충격량이며 운동량의 변화량입니다. 운동량 자체는 현재 상태를 나타냅니다. 2kg 물체에 10N을 0.3초 동안 일정하게 가하면 충격량은 3N·s, 속도 변화는 1.5m/s입니다. 힘의 단위 N과 충격량의 단위 N·s를 섞지 마세요.
질량중심의 간단한 예로, x=0에 1kg, x=4에 3kg이 있다면 입니다. 기하학적 가운데인 2가 아니라 무거운 쪽에 가까운 3입니다.
모델의 범위: 질량중심과 무게중심이 같다는 설명은 중력장이 물체 전체에서 거의 균일할 때 적절합니다. 지구·달의 태양 주위 타원 설명도 다른 천체의 섭동을 무시한 근사입니다.
회전 설명의 한계: 자유 물체의 운동을 질량중심의 병진과 그 주변의 회전으로 나눌 수 있다는 사실은, 물체의 자세가 항상 흔들림 없이 일정하게 회전한다는 보장은 아닙니다. 질량 분포, 관성 텐서, 각운동량과 외부 토크에 따라 세차나 텀블링이 생길 수 있습니다. 원문의 선풍기 비유는 고정 축의 구속을 설명하는 데 유용하지만 일반적인 자유 회전 전체를 설명하지는 않습니다. 자세한 모델은 12.5절과 연결해 읽으세요.